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Heini
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 10:08: | 
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Hallo!
Habe wiedereinmal ein Problem, und zwar folgendes:
Zeige: Ist a eine beliebige nicht-negative reelle Zahl, dann wird durch die Gleichung
x^2+2axy+y^2=1
I) genau dann eine Hyberbel in der (x,y)- Ebene beschrieben, wenn a > 1 ist.
II)genau dann eine Ellipse in der (x,y)- Ebene beschrieben, wenn a < 1 ist.
Ich glaube man kann dies mit einer Hauptachsentransformation lösen, aber ich bin mir nicht sicher, denn ich bin zu keinem Ergebnis gekommen.
vielleicht könnt ihr mir helfen!
Danke
mfg
Heini |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 12:54: |
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Hi Heini,
Wir gehen von der Gleichung eines allgemeinen
Kegelschnitts aus mit der
Gleichung
A x^2 + 2 * B x y + C y ^ 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Wir bilden die Determinante
d = A * C - B ^ 2
Je nachdem , ob D positiv , negativ oder null ist.
liegt eine Ellipse , Hyperbel oder Parabel vor
Bei Deinem Beispiel gilt A = 1 , B = a , C = 1,
somit d = 1 - a ^ 2 ,
woraus sich die Behauptung ergibt.
Zur Lösung der Aufgabe kann auch die Methode der
Asymptoten herangezogen werden.
Dabei ermittelt man die Steigungen der Asymptoten .
Sind diese reell, so liegt eine Hyperbel vor usw.
Auf Wunsch werde ich Dir die nötige Berechnung vorführen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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