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Beitrag |
    
Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 17:57: | 
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Hi!
Ich hätte da ein sehr interessantes Prüfungsbeispiel, wo ich vollkommen daneben stehe!
a) Überprüfe mit dem Rangkriterium, ob das System
x+y=4
3x-y=6
x=1
lösbar ist.
b) löse das durch obiges Gleichungssystem gegebene Ausgleichsproblem.
Ich bräuchte bitte Eure Hilfe, denn Beispiele dieser Art sind in den letzten Jahren des öftern zur Prüfung gekommen.
Danke! |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 19:21: |
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Hallo Peter,
Da hast du aber Glück:
Ich habe genau dieses Problem schon einmal gelöst und jetzt auch noch eine Kopie gefunden:
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Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 10:11: |
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Danke für Deine hilfe!
mfg
Peter |
Lupo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 01:29: |
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Hallo, ich habe ich eine Frage zu dieser "besten Lösung".
Vorweg angemerkt: ich habe großes Vertrauen darin, dass die Beiträge von Fern richtig sind und möchte nicht etwa anzweifeln, dass die Rechnung falsch ist.
Denn ich weiß gar nicht, welche Theorie der Lösung ATA x = ATb zugrunde liegt.
Es ist so: Rein anschaulich gesehen kann ich nichts mit der Lösung anfangen.
Ich habe die zu den Gleichungen
x+y=4
3x-y=6
x=1
gehörigen Graphen skizziert und den Punkt (mit Pfeil) markiert, der der "besten Lösung" entspricht:
Eine Lösung, die allen drei Geraden möglichst nahe kommt, läge für mich irgendwo in dem Bereich, den ich gelb markiert habe.
Denn die drei Gleichungen repräsentieren doch drei Schnittpunkte, und der Punkt (7/3 | 4/3) liegt sehr nahe am Schnittpunkt der beiden Geraden y=4-x und y=3x-6.
Das sieht irgendwie so aus, als ob die Gerade x=1 gegenüber den anderen beiden nicht gleichberechtigt ist.
Kann man die Methode der "kleinsten Quadrate" irgendwie an diesen Graphen deuten, ohne gleich die ganze Theorie dazu aufschreiben zu müssen? |
Lupo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 01:34: |
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Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 17:17: |
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Hallo Lupo,
Meine "beste Lösung" ist der Punkt P=(7/3; 4/3)
Ich habe mal schnell seine Abstände zu den 3 Geraden gerechnet:
d1 = 0,2357
d2 = 0,1054
d3 = 1,3333
d1 + d2 + d3 = 1,6744...
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Versuch doch mal einen Punkt zu finden, für den diese Summe kleiner ist.
(Die Abstände immer positiv gerechnet, also eigentlich |d1|+|d2|+|d3|)
Vielleicht gelingt es - ich kann mich ja irgendwo verrechnet haben)
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Gruß, Fern  |
Lupo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 23:01: |
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Hallo Fern, erstmal Danke für die Antwort.
Ich habe deine Herleitung des Punktes (7/3 ; 4/3) nochmal nachgerechnet und konnte keinen Fehler finden.
Kann es sein, dass die Theorie, die hinter der Gleichung
ATA x = ATb
steht, keinerlei Bezug zur Tatsache hat, dass die Summe der Abstände des Punktes x von den Geraden minimal wird?
Ich habe nämlich einen Punkt gefunden:
Q(2.1; 1.9)
Er liegt auf der Geraden x+y=4 und hat demnach den Abstand d1=0 zu ihr.
Von der Geraden x=1 hat er den Abstand d3=1.1.
Seinen Abstand zur Geraden 3x-y=6 <=> y=3x-6 habe ich als d2=Ö0.256 < 0.506 erhalten.
Also ist d1 + d2 + d3 < 0+0.506+1 = 1.506
Das bizarre an der Sache ist natürlich, dass dieser Punkt meine Erwartung noch weniger erfüllt, den Punkt für die "beste Lösung" irgendwo in der Nähe des Inkreismittelpunktes oder des Schwerpunktes des Dreiecks zu finden.
Gruß Lupo
:-D |
Lupo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 23:04: |
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sorry, d1 + d2 + d3 = 1.606, aber immer noch kleiner als 1,6744 |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 12:42: |
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Hallo Lupo,
"Beste Lösung" heißt nicht: die Summe der Abstände zu den Geraden muss ein Minimum werden!
Ich habe mich da verleiten lassen.
"Beste Lösung" heißt: jenen Vektor x zu finden für den der Abstand |b - Ax| ein Minimum ist.
Ich habe eine kleine Skizze (prinzipiell, nicht auf das Beispiel bezogen) gemacht:
Die blaue Ebene ist der Unterraum, der von den Spalten von A aufgespannt wird.
b ist der gegebene Punkt
Der Punkt x ist jener Punkt der blauen Ebene, der von b den kleinsten Abstand hat.
Mit den 3 Geraden hat dies nichts zu tun.
Gruß, Fern
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Lupo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 22:47: |
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Hallo Fern,
irgendwie schon einleuchtend, die Methode "kleinster Abstand";
alternativ ausgerechnet:
f(x,y) = (4-x-y)² + (6-3x+y)² + (1-x)² = 11x²+2y² -46x +4y - 4xy +53
hat wirklich ein Minimum in x=7/3, y=4/3.
Trotzdem muss ich über die Deutung als "beste Lösung" noch etwas nachdenken.
Gruß
Lupo
PS: ist in dem 15kB-Dokument noch mehr außer diesem Bild hier:
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