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Beitrag |
    
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 16:51: | 
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Hallo!
Befinde mich im 1. Semester einer Fachhochschule und wir beginnen gerade mit Mengen.
Ich hätte hier 3 Angaben, mit denen ich nicht viel anfangen kann.
1.)
Ein Meinungsforscher sendet seinem Chef das Ergebnis seiner Umfrage über die Beliebtheit von Bier und Wein:
Anzahl der Befragten: 100
Anzahl derer, die Wein trinken: 68
Anzahl derer, die Bier trinken: 75
Anzahl derer, die beides trinken: 42
Warum wurde der Mann entlassen?
2.)
Der Barbier eines Dorfes rasiert genau die Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. Es sei M = { Dorfbewohner x | x rasiert nicht selbst }
Ist der Barbier ein Element der Menge?
3.)
Die 30 Schüler einer Klasse schreiben in den letzten Wochen drei Arbeiten.
In Deutsch versagten 8
In Englisch versagten 13
In Mathematik versagten 8
4 versagten in Deutsch und in Englisch
3 versagten in Deutsch und Mathematik
5 versagten in Englisch und in Mathematik
In allen drei Fächern versagte nur 1 Schüler.
Wieviele Schüler haben in allen drei Fächern bestanden?
Anmerkung von mir:
Wie drückt und rechnet man das alles mit Hilfe der Mengenlehre aus?
Vielen Dank für die Hilfe!
lg,
deja |
superknowa
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 22:59: |
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1.)
Der Betrag |...| gebe die Anzahl der Elemente einer Menge wieder.
Dann gilt
|S|=100 ... Gesamtzahl
|W|=68 ... Weintrinker
|B|=75 ... Biertrinker
|A|=42 ... Alkoholiker (Bier- und Weintrinker)
Ähnlich dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und mit u ... Vereinigung und n ... Schnitt:
|W u B| = |W| + |B| - |W n B|
= 68 + 75 - 42 = 101
Es wurden aber nur 100 Personen befragt (also kann |W u B| höchstens 100 betragen). Den Mann sollte man entlassen.
superknowa |
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 23:10: |
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DANKE!
Ist für mich nur nicht ganz logisch, d.h. ich verstehe nicht ganz, weshalb die "Formel" 68 + 75 - 42 gilt.
Aber DANKE!!
lg,
gerhard |
superknowa
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 23:20: |
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2.) Russel'sches Paradoxon: der Babier ist weder ein Element von M noch kein Element von M (Rettung durch Klassen !?)
3.)
D ... Deutsch-Besteher
E ... Englisch-Besteher
M ... Mathe-Besteher
d ... Deutsch-Versager
e ... Englisch-Versager
m ... Mathe-Versager
Mit den De'Morganschen Regeln gilt
D n E n M = Komplement von (d u m u e)
(n ... Schnitt; u ... Vereinigung)
Beziehungsweise |D n E n M| = 30 - |d u m u e|
Daher berechnet man |d u m u e| wieder mit Hilfe des Additionssatzes der Wk-Rechnung:
Man kann leicht zeigen, dass gilt
|d u m u e| = |d| + |e| + |m| - |d n e| - |d n m| - |e n m| + |d n e m |
= 8 + 13 + 8 - 4 - 3 - 5 + 1 = 29 - 12 + 1 = 18
Daher gilt
|D n E n M| = 30 - |d u m u e| = 30 - 18 = 12
ciao
superknowa |
superknowa
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 23:24: |
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Bild klappt nicht bei zahlreich.
Der Additionssatz heisst
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
Interpretiere P(X) als Fläche von X und zeichne zwei sich schneidende Kreisflächen (A und B); dann ist die Fläche von A u B (Vereinigungsmenge) gleich der Summe der Einzelflächen minus der Schnittfläche (da diese ja zweimal mitgezählt wird, also einmal wieder abgezogen werden muss).
superknowa |
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 00:37: |
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Hallo!
Vielen Danke für alles! Danke!
War mal in Mathe voll gut drauf - habe jetzt aber über 4 Jahre nichts mehr in Mathe gemacht - da vergißt man einiges!
Danke nochmal!
Gerhard |
superknowa
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 00:27: |
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Bitte bitte. Ich probier das Bild nochmal:
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Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 00:51: |
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Der Babier des Dorfes ist kein Dorfbewohner, also kein Element der Menge. |
superknowa
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 03:08: |
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Woher weisst Du? |
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 10:39: |
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Zaph?
Wie kommst du drauf?
lg,
gerhard |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 14:24: |
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Wenn der Barbier B ein Dorfbewohner wäre:
Es gibt zwei Fälle:
1. Fall: B rasiert sich selbst
2. Fall: B rasiert sich nicht selbst
Im ersten Fall rasiert sich B nicht selbst, da er ja alle Dorfbewohner, und nur diese, rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Dies ist ein Widerspruch.
Im zweiten Fall rasiert er sich selbst. Auch dies ist ein Widerspruch.
Folglich kann B kein Dorfbewohner und daher kein Element von M sein. |
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 19:25: |
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Hi!
Ich hab grad mit unserem Mathe-Professor gesprochen.
Bei dem Beispiel trifft tatsächlich das Russel'sches Paradoxon zu!
Der Babier ist weder ein Element von M noch kein Element von M.
Die Aufgabe ist nicht lösbar!
lg,
deja |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 01:07: |
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Hallo Gerhard,
was hast du denn für einen Mathe-Prof???
Wenn A irgendeine Aussage ist, dann kann nicht gleichzeitig "A" und "nicht A" falsch sein.
Wenn das nämlich der Fall wäre, dann wäre ja gleichzeitig "A" und "nicht A" richtig.
Aus "A" und "nicht A" kann man aber nach den Grundprinzipien der Logik *JEDE* beliebige Behauptung beweisen. Z. B. "1 + 1 = 3".
Oder hast du hier deinen Prof möglicherweise falsch verstanden??? |
sk
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 03:41: |
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Und ich dachte, der Barbier des Dorfes ist ein Dorfbewohner; mag sein,dass das nicht immer so ist: aber hier wars sicherso gemeint.
Trotzdem schlaue Antwort |
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 20:04: |
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Hi!
Ich kann ihn ja das nächste mal Fragen.
Auf alle Fälle hab ich es so verstanden, dass der Barbier ein Element der Menge ist - und man kann nicht über ein Element der Menge die Menge beschreiben.
So irgendwie hat er das formuliert.
Aber falls ihr wollt, kann ich ihn ja um eine genaue definition fragen.
lg,
deja |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 22:08: |
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Ja bitte, frag ihn! |
Gerhard Rohrer (Dejavu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 20:54: |
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Hi Zaph!
Hat etwas gedauert.
Es ist einfach so - der Barbier ist Element der Menge und gleichzeitig nicht Element der Menge -> Paradoxon - nicht lösbar!
lg, Gerhard
Hab übrigens eine Frage, die mich wurmt!
1! = 1
0! = 1
d.h. - 0! = 1! -> 0 = 1???
Wieso ist 0! auch eins? Das wird einfach so definiert? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 23:24: |
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Hallo Gerhard,
aus 0! = 1! folgt natürlich nicht, dass 0 = 1. Genausowenig, wie aus 1² = (-1)² folgt, dass 1 = -1.
0! = 1 zu definieren ist erst einmal einfach nur praktisch.
Z. B. gilt ja (n+1)! = n! * (n+1) für jede natürliche Zahl n.
Und damit diese Formel auch für n = 0 gilt, "muss" 0! = 1 sein.
Noch etwas zum Barbier:
Es kann nicht sein, dass für irgend eine Aussage A gleichzeitig "A" und "nicht A" richtig ist. Wenn das der Fall wäre, wäre die GESAMTE (!!!) Mathematik hinfällig. Bitte lasse dich nicht so einfach von deinem Prof mit der Aussage "Paradoxon - nicht lösbar" abspeisen. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 23:58: |
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Bekannt ist doch:
sei M die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.
Dann gilt sicher nicht, dass M in M liegt, sonst wäre M eine Menge, die sich selbst enthält: so eine gehört per Definition nicht zu M .
Es müsste also M nicht in M liegen; dann gehört aber M zu den Mengen, die sich nicht selbst enthalten und wäre damit ein Element von M: Widerspruch.
Müssen man jetzt die Mathematik von Bord werfen, ist sie also 'hinfällig', oder kann man das 'Dilemma' lösen?
ciao
lnexp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 00:10: |
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Aber selbstverständlich lässt sich dieses Dilemma lösen.
Die einfache Lösung ist:
ES GIBT KEINE DERARTIGE MENGE M!
Genausowenig, wie der Barbier ein Dorfbewohner ist.
In der Tat enthält KEINE Menge sich selbst. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 01:42: |
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Aber oben wird die Menge M definiert, also ist sie (ab jetzt) "da". Da kann man sich nicht gegen wehren, indem man sagt, sie sei nicht da.
ciao
lnexp |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 01:48: |
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Hi lnexp
Dadurch, dass man ein paar Worte um den Buchstaben M herumschreibt, wird M noch lange nicht zu einer Menge. Das ist genauso, als würde ich definieren: sei x die Zahl, für die gilt: x=x+1. Ich hab x als definiert, und trotzdem ist es keine.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 01:50: |
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Sorry, in der letzten Zeile muss es heißen:
Ich hab x als Zahl definiert...
viele Grüße
SpockGeiger |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 02:05: |
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Was meinst Du damit; es wurde eine Menge M definiert.
lG
lnexp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 17:17: |
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Das hast du (lnexp) doch gesagt.
Ich gebe SpockGeiger völlig Recht! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 17:52: |
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Man darf die Menge M sehr wohl so definieren, wie oben geschehen (wohldefiniert). Der Mengenbegriff verbietet das nicht, und das ist das Dilemma!
lnexp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 18:45: |
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Nein, darf man nicht. Allenfalls bis in das vorletzte Jahrhundert durfte man das. Bis dann Anfang des 20. Jahrhundert Russel eben diese "Menge" M fand, die offensichtlich einen Widerspruch in der Mathematik lieferte. Das stürzte die Mathematik in eine tiefe Krise, bis man sich besann, den Mengenbegriff vollständig neu zu überdenken. So entstand die "axiomatische Mengenlehre", die von Grund auf definiert, was "Mengen" eigentlich sind. Vorher war eine Menge schlicht "eine Zusammenfassung von Dingen unseres Denkens zu einer Gesamtheit" oder so ähnlich. Mit dieser Definition wäre M eine Menge. Das sog. Fundierungsaxiom garantiert nun, dass es keine Menge gibt, die sich selbst als Element enthält. Somit wäre M die "Menge aller Mengen", die es aber wiederunm wegen des Fundierungsaxiom nicht geben kann.
Leider ist nicht klar, ob die neu geschaffenen Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind :-( |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 19:12: |
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Dann sind wir uns endlich einig :-)
lnexp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 19:32: |
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Überzeugt oder wusstest du das schon vorher? |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 19:50: |
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Hallo
Meines Wissens nach wurde aber verlangt, dass jedes mögliche e entweder in einer Menge liegt oder nicht. Da M das nicht erfüllt, ist es keine Menge. lnexp, hast Du meinen Beitrag eigentlich überhaupt gelesen?
An Zaph: Das von der axiomatischen Mengentheorie nicht bekannt ist, ob sie widerspruchsfrei ist, oder nicht, ist doch klar. Das gilt für jedes Axiomensystem. Die Antwort kann immer nur negativ beantwortet werden, d.h. wenn ein Axiomensystem entscheiden kann, ob es einen Widerspruch enthält, oder nicht, dann nur, indem es einen Widerspruch erzeugt.
viele Grüße
SpockGeiger |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 00:14: |
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Ja? Ist das so klar, SpockGeiger? Hat das was mit den Gödel'schen Unvollständigkeitssätzen oder so zu tun? Oder übersehe ich etwas?
Ein Axiomensystem ist auf jeden Fall widerspruchsfrei, wenn es ein Modell gibt, das dieses Axiomensystem erfüllt. Deshalb glaube ich nicht, dass deine Aussage für JEDES Axiomensystem gilt. Nimm z. B. das Axiomensystem, das kein Axiom enthält. Hieraus wird man wohl kaum einen Widerspruch herleiten können. |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 00:29: |
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Ich kenne das Fundierungsaxoim tatsächlich nicht. Bitte schreib es mal hin, wenn möglich (an Zaph).
lnexp |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 03:57: |
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Hi Zaph
Zitat:"Hieraus wird man wohl kaum einen Widerspruch herleiten können."
Beweis das mal, ich glaube nicht, dass das möglich ist.
Aber OK, ich habe den Satz nicht vollständig zitiert. Es muss heißen: Jedes endliche, Axiomensystem...usw, kann auch sein, dass es auch noch "nichtleer" heißen muss, falls ich mich gerade geirrt habe, und ja, es hat mit den Gödel'schen Unvollständigkeitssätzen zu tun.. Es wurde meines Wissens nach im gleichen Manuskript bewiesen.
viele Grüße |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 11:11: |
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@lnexp: Das Fundierungsaxiom besagt
Jede nichtleere Menge A besitzt ein Element x mit (A geschnitten x = leere Menge).
Sei nun M eine beliebige Menge. Betrachte dann A = {M}. Nach dem Fundierungsaxom folgt, dass M sich nicht selbst als Element enthält.
@SpockGeiger: Die leere Menge ist doch ein Modell des leeren Axiomensystems. Also ist das leere Axiomensystem widerspruchsfrei. Oder bezweifelst du die Existenz der leeren Mnege?
Statt des "leeres Axiomensystems" kannst du auch das Axiomensystem bestehend aus dem Axiom "für alle x ist x=x" nehmen. |
Emre
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 17:30: |
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Hi Leute! Eine Frage!!!
Beweisen und wiederlegen sie nichtleere Mengen A,B und C.
(A x B)v(B x A)=C x C => A=B=C
1.Beweise
2.Ist die Voraussetzung sinvoll? |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 02:03: |
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Sei cÎC => (c,c)ÎCxC => (c,c)ÎAxB oder (c,c)ÎBxA => cÎB und cÎA
Folgerung : C ist Teilmenge von A und B
Da AxB Teilmenge von CxC ist, ist B Teilmenge von C und auch A Teilmenge von C.
Alles zusammen ergibt die Behauptung, nämlich A=B=C. |
Emre
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 22:50: |
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Danke für die Lösung! Habe noch andere aufgaben wo ich nicht weiter komme!Ich hoffe Ihr könnt mich auch dabei behilflich sein! |
Emre
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 23:02: |
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Brauche Hilfe!
Aufgabe1:Beweisen oder wiederlegen Sie folgende Gesetze für allgemeine Mengen A,B,C:
i.) A x (B n C)= (A x B) n (A x C)
ii.) A x (B\C)=(A x B)\ (A x C)
Aufgabe2:Beweisen oder wiederlegen sie wenn A ungleich leereMenge und B ungleich leereMenge dann gilt: A x B=B x A <=> A=B |
Emre
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 16:21: |
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Kann jemand mir die aufggabe Lösen? siehe oben!! |
Petra
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 17:49: |
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Hallo!
Hab leider ein großes Problem!!!
Kann mir jemand bei der Lösung der folgenden Aufgabe helfen?
(a) Untersuchen Sie die ihnen bekannten Beziehungen zwischen Zahlenmengen (N,Q, R). Stellen sie diese als Relationen dar und untersuchen sie deren Eigenschaften.
Danke im Voraus
Petra |
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