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Antisymmetrie

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Alex
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 16:26:   Beitrag drucken

Hi
In einigen Mathematik büchern wird antisymmetrie folgenderweise definiert:
1.
für alle x aus G und alle y aus G gilt: y und x steht mit y in Relation und y steht mit x in Relation daraus folgt x=y
2.
oder es wird auch so definiert:
für alle x aus G und alle y aus G gilt: x ist ungleich y und x steht mit y in Relation daraus folgt y steht nicht mit x in Relation.

Z.B x= 6, y=6 Überprüfung auf Telibarket
Nach der 2. Definition müßte das doch eine ebenfalls Antisymmetrie sein, da 6 teiler von 6 ist und umgekert.Aber Symmetrisch ebenfalls.
Habe ich das richtig verstanden?

Danke in Voraus?
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Alex
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 16:31:   Beitrag drucken

habe mich vorhin vertippt.
Nach der 1. Definition müßte das doch antisymmetrisch sein. aber auch symmetrisch oder?
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Lars Brünjes (Lbrunjes)
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Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 09:34:   Beitrag drucken

Hi!
Ich glaube, das hast Du nicht ganz richtig verstanden, denn der Punkt ist, daß die betreffenden Eigenschaften für alle x und y gelten müssen, nicht nur - wie in Deinem Beispiel - für das spezielle Paar x=6, y=6.

In Deinem Beispiel, wo G die Menge der natürlichen Zahlen mit der Teilbearkeitsrelation ist, stimmt tatsächlich: Sind x und y beliebige natürliche Zahlen und teilt x y und teilt y x, so gilt x=y. Also ist diese Relation wirklich antisymmetrisch.

Aber: Die Relation ist nicht symmetrisch, denn eine Relation heißt symmetrisch, wenn für alle x,y aus G aus x steht in Relation zu y auch folgt, daß y in Relation zu x steht. In Deinem Beispiel genügt nicht der Fall x=6,y=6 (wo's stimmt), sondern Du mußt z.B. auch den Fall x=2, y=6 betrachten: x teilt y, aber y teilt nicht x. Also ist die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen nicht symmetrisch!

Übrigens: Die beiden Definitionen für Antisymmetrie, die Du zitiert hast, sind offenbar logisch äquivalent, die eine ist die Kontraposition der anderen!

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