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Lucinia (lucinia)
Neues Mitglied Benutzername: lucinia
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Dezember, 2002 - 09:19: |
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Hallo:-) schon wieder ich..., aber ich kann mich so kurz vor Weihnachten einfach nicht mehr auf Mathe konzentrieren. Kann mir vielleicht jemand bei folgendem Problem helfen? Sei r>=2 aus N(nat. Z.) und J=rZ(ganze Z.).z.z:Z/J ist genau dann ein Körper, wenn r eine Primzahl ist. Tipp:Ist r=km mit 2<=k,m so berechne k^*m^. Ist r Primzahl, so ist Z/J ohne Nullteiler.(Benutze dazu: ist r Primzahl und teilt r das Produkt km, so teilt r eine der beiden Zahlen k oder m) Vielen Lieben Dank, eure Lucinia |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 784 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Dezember, 2002 - 19:12: |
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Hi Lucinia Erstmal die leichtere Richtung. Sei r keine Primzahl mit r=km. k und m sind beide nicht 0, aber k*m ist 0, also ist Z/rZ nicht Nullteilerfrei, also kein Körper. (k*m mod r= r mod r=0). Damit ist schonmal gezeigt. dass Z/rZ höchstens dann ein Körper sein kann, wenn r prim ist. Jetzt also der schwierigere Teil. Sei r Prim. Die Körperaxiome für die Addition und Multiplikation zeigst du ganz leicht bis auf die Existenz eines multiplikativen Inversen. Im übrigen liegt es nur daran, dass Z/rZ nicht immer ein Körper ist. Zeigen wir also, dass für eine Primzahl r in Z/rZ multiplikative Inverse existieren. D.h. für 1<=x<r aus Z/rZ existiert ein x-1 mit xx-1mod r =1. In Z/rZ gibt es folgende Klassen: 0, 1, ..., (r-1). Wir zeigen jetzt, dass x*0, x*1,...,x*(r-1) alle verschieden sind(Ich lass das mod r jetzt mal weg, "*" bezeichnet ab sofort die Multiplikation in Z/rZ). Angenommen es existiert ein k ungleich h mit: x*k=x*h <=> x*(k-h)=0 Da r eine Primzahl ist, muss sie entweder x oder (k-h) teilen. Sie kann jedenfalls nach Voraussetzung kein Teiler von x sein, also muss sie k-h teilen. |k-h| ist aber kleiner als r, also muss k-h=0 sein und somit k=h. Daraus folgt das die oben angegebenen Klassen alle verschieden sein müssen, was wiederum heißt, dass das neutrale Element dabei ist und daraus folgt dann schließlich, dass das multiplikative Inverse existiert und Z/rZ ein Körper ist. MfG C. Schmidt |
Lucinia (lucinia)
Neues Mitglied Benutzername: lucinia
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Dezember, 2002 - 19:49: |
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Vielen lieben, bist echt ein Genie:-) Gruß, Lucinia |
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