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Sabrina (guybrush22)
Neues Mitglied
Benutzername: guybrush22
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Dezember, 2002 - 21:38: | 
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Wenn ich eine Gleitspiegelung und eine Drehung verkette, ist es richtig, dass ich dann wieder eine Gleitspiegelung erhalte?
Und wenn ja, warum? Ich habe aufgeschnappt, dass es mit der ungeraden Anzahl von Spiegelachsen zusammenhängt:
Bei der Gleitspiegelung sind ja 3 Spiegelachsen vorhanden (da ich die gegebene Spiegelachse habe und die Verschiebung durch zwei Spiegelachsen ersetzen kann) und die Drehung kann ich durch 2 Spiegelachsen ersetzen.
Aber warum erhalte ich dann bei deren Verkettung wieder eine Gleitspiegelung? |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1910
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Dezember, 2002 - 17:13: |
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Hi Sabrina,
Ich möchte Dich auf zwei Sätze hinweisen,die
i.a. in den Vorlesungen zur konstruktiven Abbildungsgeometrie bewiesen werden.
Die Beweise hier nachzuvollziehen,würde zu weit führen.
Diese Sätze lauten:
1.
Jede gleichsinnige Kongruenz lässt sich als eine Verkettung von zwei Geradenspiegelungen darstellen
und ist folglich eine Translation oder eine
Drehung.
2.
Jede ungleichsinnige Kongruenz ist eine Schubspiegelung (Gleitspiegelung).
(Diese Tatsache ist etwas verblüffend,und der Beweis ist recht aufwändig).
Es ist leicht einzusehen,dass die Verkettung einer Gleitspiegelung mit einer Drehung eine
ungleichsinnige Kongruenzabbildung ist
(der Umlaufsinn wird wegen der Gleitspiegelung geändert).
Nach Satz 2 ist das Resultat eine Schubspiegelung,wie behauptet wurde.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 412
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Dezember, 2002 - 09:31: |
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Hallo,
Vielleicht könnte man das auch analytisch
einsehen:
Sei I:= matrix([1,0],[0,-1]) ,
D:= matrix([cos a,- sin a],
[sin a, cos a]), dann gilt
S:= DI=matrix([cos a,sin a],[sin a,- cos a])
(zeilenweise zu lesen), r := (x,y)t.
O.B.d.A. sei y=0 die Gleitspiegelungsachse,
der Fixpunkt der Drehung sei p.
Die Gleitspiegelung ist
r --> r' = Ir + v,
die Drehung :
r'--> r'' = p+D(r'-p)
Verkettung beider Abbildungen ergibt
r --> r'' = Sr + w,
und weil S eine Spiegelungsmatrix ist,
haben wir eine Gleitspiegelung.
mfG Orion
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