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Nicole (nixal)
Neues Mitglied
Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 09:16: | 
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Zu zeigen: Die Folge an:=1+q+q²+....+q^n, 0<q<1 ist monoton und beschränkt.
Wie kann man die Monotonie beweisen?? Und stimmt es das die untere Schranke dieser Folge 1 und die obere Schranke 2 ist???
Nixal |
Tilo (schubtil)
Junior Mitglied
Benutzername: schubtil
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 09:46: |
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Die Lösung kann ich dir momentan nicht beiten, ob ich es noch rausbekomme, weiss ich nicht, nur soviel:
Die Folge ist Monoton steigend.
Die obere Schranke ist nicht 2. Wenn du die Folge mit 0,99 bis zum dritten Glied berechnest, bist du schon fast bei 3. Kleiner 1 bedeutet, dass du dich unendlich nahe an 1 heranbewegen kannst. Bei =1 wäre die Folge nach oben nicht beschränkt. Wie das bei 0,9 periode 9 ist, wäre hier die Frage.
Übrigens für 0<q<0,5 wäre nach meinem dafürhalten die obere Schranke =2. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 779
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 12:54: |
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Hi Nicole
Du hast es hier mit der geometrischen Reihe zu tun. Formel dafür ist:
an:=1+q+q²+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)
Die kannst du ganz einfach mit Induktion beweisen und daran siehst du eigentlich auch sofort den Grenzwert für n gegen unendlich, nämlich 1/(1-q).
Dadurch ist die Beschränktheit ja schon direkt gegeben. Untere Schranke ist 1(=a0, danach werden nur positive Werte addiert) und die obere 1/(1-q), was aus der noch zu beweisenden Monotonie folgt.
Die Folge ist streng monoton steigend.
a(n+1)=1+q+...+q^n+q^(n+1)=a(n)+q^(n+1)>a(n)
MfG
C. Schmidt |
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