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Mike (mimonte)
Neues Mitglied
Benutzername: mimonte
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 21:20: | 
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ich habe da zwei aufgaben, bei denen je die punktmenge in der komplexen zahlenebene skizziert werden soll:
1) {z E C /{0}| Re(1/z)=1 }
2) {z E C| |z+i| + |z-i| = 4}
jedoch weiss ich nicht wirklich, wie ich damit umgehen soll. vielleicht kann mir ja jemand helfen und einen lösungsvorschlag/ -weg geben.
danke!
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1905
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 15:57: |
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Hi Mike,
Teilaufgabe a)
Wir setzen wie üblich z = x + i y .
Wir formen w = 1 /z um, indem wir den Bruch mit dem konjugiert
Komplexen von z, also mit z* = x - i y erweitern.
Es entsteht
w = z* / (z z*) = ( x – i y) / (x^2 + y^2)
Der Realteil von w ist offensichtlich u = x / (x^2 + y^2)
Nach dem Aufgabentext gilt u = 1; daraus entsteht die Relation
x ^ 2 + y ^ 2 – x = 0; dies ist die Gleichung eines Kreises k
mit dem Mittelpunkt M( ½ / 0) auf der reellen Achse
und dem Radius r = ½. .
Beachte: k geht durch den Nullpunkt, der wegen der Bedingung, dass
z nicht null sein soll, entfällt.
Wir erhalten als Lösung die Peripherie des genannten Kreises,
ohne den Nullpunkt O.
Teilaufgabe b)
Vorbemerkung:
Der Absolutbetrag der Differenz z – zo zweier komplexer Zahlen
z und zo stellt gerade den Abstand d der Punkte P und Po dar,
welche in der Zahlenebene von Carl Friedrich Gauss durch z und zo
bestimmt sind.(C.F. ist allgegenwärtig!).
Wendet man diese Tatsache auf Deine Aufgabe b) an,
so erhalten wir die Abstandsbedingung
P F1 + P F2 = 4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
P ist in der Zahlenebene der (laufende) Punkt, welcher der komplexen
Zahl z entspricht, F1 der Punkt –i1 auf der imaginären Achse,
F2 der Punkt i1 ,der ebenfalls auf der imaginären Achse liegt.
Mit Hilfe der (x,y)-Koordinaten können wir schreiben:
P( x / y) , F1(0 /-1), F2(0 / 1) .
Die unterstrichene Bedingungsgleichung besagt, dass P auf einer
Ellipse läuft , mit den Brennpunkten F1 und F2.
Für die grosse Halbachse a erhalten wir aus der Beziehung
P F1 + P F2 = 2 a den Wert a = 2
Der Abstand 2 der Brennpunkte stimmt mit der doppelten linearen
Exzentrizität 2 e überein
Also gilt e = 1
Die kleine Halbachse b ergibt sich aus der Beziehung
b^2 = a^2 – e^2 = 3, mithin
b = wurzel(3)
Mittelpunkt der Ellipse ist, wie der geneigte Leser gemerkt hat,
der Nullpunkt O.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,magamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1906
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 17:06: |
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Hi Mike,
Das Ergebnis bei Deiner ersten Teilaufgabe kannst Du auf
eindrückliche Weise geometrisch einsehen und überprüfen,
sofern Du über Kenntnisse von der Spiegelung am
Einheitskreis, der so genannten Inversion, verfügst.
Diese Spiegelung wird durch die Abbildungsgleichung
w = 1 / z mit anschliessender Spiegelung an der reellen Achse
realisiert.
Wir wollen den in meiner Lösung genannten Kreis k mit der
Gleichung x ^ 2 + y ^ 2 – x = 0 auf diese Art abbilden
Zunächst werde k am Einheitskreis x ^ 2 + y ^ 2 = 1,
dem Inversionskreis, gespiegelt.
Da k durch O geht, ist das Bild k’ von k eine Gerade!
Da k den Inversionskreis im Punkt T(1/0) berührt und dieser Punkt ein
Fixpunkt der Abbildung ist , tut dies die Bildgerade auch im
gleichen Punkt T.
Somit ist k’ die Kreistangente mit T(1/0) als Berührungspunkt.
Durch die nachfolgende Spiegelung an der reellen Achse geht
k’ in sich über; kurzum:
das Schlussbild von k bei der Abbildung w = 1 /z ist die Gerade
mit der Gleichung x = 1 oder Re(z) = 1, wie man auch sagen kann,
wenn man an die Gauss’sche –Zahlenebene denkt..
Gerade dies war aber zu zeigen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Mike (mimonte)
Neues Mitglied
Benutzername: mimonte
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Dezember, 2002 - 10:43: |
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danke für ihre mühe! sie haben mir mit dem beitrag sehr weitergeholfen und die klausur habe ich bestanden!
danke nochmals und frohe weihnachten! |
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