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Tilo Kruse (bbk)
Junior Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 21:47: | 
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Ich zweifel zwar noch nicht an meinem Mathematikstudium, aber es ist doch langsam bedenklich...wieder habe ich Probleme bei Aufgaben:
1. Zeigen Sie:
a) Die Summe von Primzahlzwillingen ist mit einer Ausnahme stets
durch 12 teilbar.
FRAGE: Erklärung ist doch hier einfach, dass alle Primzahlen > 3 darstellbar sind als 6n(+-)1...wenn es Zwillinge sind, muss gelten, dass eine Primzahl 6n-1, die andere 6n+1 ist...wenn man die addiert, erhält man 12n ==> Beweis erfüllt
b) Repunits ("repeated units") sind Zahlen, deren Dezimaldarstellung
nur aus Einsen besteht (Bsp. R3 = 111, R4 = 1111, R5 = 11111, ...).
Zeigen Sie, daß Repunits nie Quadratzahlen sein können.
2. a) Für welche m Element N ist j(m) ungerade? [j(m) ist die Euler'sche Funktion]
Gilt doch nur für m=1 und m=2, da bei allen anderen Zahlen durch die Komplementarität(?) gilt, dass zwei teilerfremde Zahlen sich immer zu n addieren, oder nicht?
b) Bestimmen Sie alle m Element N mit j(m) = 24
c) Zeigen Sie, daß kein m Element N existiert mit j(m) = 14
3. Berechnen Sie j(12) und erstellen Sie die Gruppentafel für die prime
Restklassengruppe (R12*, M).
j(12) = 4; prime Restklassengruppentafel ist dann doch dann einfach nur für 1,5,7,11 oder für alle Primzahlen < 12
4. Beweisen Sie: j ist multiplikativ.
Formulieren Sie den Beweis mit eigenen Worten. |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 402
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 10:03: |
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Tilo,
Repunits:
Für n > 1 ist
Rn = 1+10+...+10n-1 = (10n-1)/9.
Annahme: Rn = m2. Offenbar muss
m ungerade sein: m = 2k+1, also
10n = 9m2+1 = 36k(k+1)+10
==> 5*(10n-1-1) = 18k(k+1) :
Widerspruch, denn die linke Seite ist ungerade.
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
Junior Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 12:40: |
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Ähm...warum gilt: 1+10+...+10^(n-1)=(10^n-1)/9?
Auch die restlichen Schritte sind für mich irgendwie nebulös... |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 769
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 13:54: |
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Hi Tilo
Also das ist die Formel für eine geometrische Reihe:
Summe von k=0 bis n q^k=(q^(n+1)-1)/(q-1)
Die Kannst du leicht mit Induktion beweisen. Die Gilt übrigens nicht für q=1.
Die übrigen Sachen sind dann nur noch Rechnung:
Die Zahl Rn ist immer ungerade wegen der 1 am Anfang der Summe. Das ist immer die letzte ziffer der Zahl. Da Rn=m2 gilt und Rn ungerade ist, muss auch m ungerade sind. Dann hat Orion einfach m=2k+1 gesetzt und nochmal die Formel oben umgestellt.
Rn=(10n-1)/9=m2
<=> 10n=9m2+1=9*(2k+1)2+1=36k(k+1)+10
<=> 10*(10n-1-1)=36k(k+1)
<=> 5*(10n-1-1)=18k(k+1)
Naja, und hier ist halt die rechte Seite auf jeden Fall gerade, weil sie 18 gerade ist und die linke Seite auf jeden Fall ungerade, weil beide Faktoren ungerade sind.
Hoffe mal das hilft dir ein bißchen weiter.
MfG
C. Schmidt
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 403
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 15:37: |
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Tilo,
Hinweis zur Euler-Funktion f:
f(m) =
Pp|mpmp-1(p-1)
Dabei ist mp der genaue p-Exponent von m. Damit lässt sich 2. leicht
erledigen: Ueberlege, welche Primteiler p
auftreten können!
Zu3.: 1,5,7,11 repräsentieren in der Tat
genau die primen Restklassen mod 12.
Zu4.: f(m*n) = f(m)*f(n)
für teilerfremde m,n . Der Beweis ist
eigentlich Vorlesungsstoff. Welchen Beweis sollst Du nun "mit eigenen Worten"
formulieren ?
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
Junior Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 17:58: |
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Hmmm...Aufgabe 1b habe ich jetzt verstanden, danke!
Zu Aufgabe 2 verstehe ich den Hinweis leider noch nicht ganz...
Aufgabe 4: Wir haben die Aussage nicht bewiesen in der Vorlesung, sie meinte, wir sollten uns da unsere eigenen Gedanken machen! |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 408
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 10:37: |
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Tilo,
Die Beweisidee zu 4. ist folgende:
Schreibe die Zahlen 1,2,...,mn so auf:
1.Zeile : 1, m+1, 2m+1,...,(n-1)m+1
2.Zeile: 2, m+2, 2m+2,...,(n-1)m+2
. . . . . . . .
m-te Zeile: m, 2m, 3m,..., nm
also km+r, k=1,...,n-1, r=1,...,m.
Man streicht die r-te Zeile g.d.w. ggT(m,r)>1.
Alle zu mn teilerfremden Zahlen befinden sich
in den f(m) verbleibenden Zeilen,und
in jeder dieser Zeilen zählt man genau f(n) solcher Zahlen. Mache Dir das am besten an einem Zahlenbeispiel klar,z.B. m=5,n=6.
Hat man so bewiesen, dass f multiplikativ ist , so folgt die Euler'sche
Formel aus der einfachen Tatsache, dass
f(pk) = pk-1(p-1) für Primzahlen p.
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 13:33: |
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Danke...kann mir einer noch bei Aufgabe 2 helfen?
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 409
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 07:34: |
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Tilo,
Nochmals: Benutze die Euler'sche Produktformel !
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 08:55: |
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Vielen Dank...auch wenn ich es immer noch nicht verstanden habe, da ich die Formel nicht kenne und sie auch nicht genau verstanden habe, wie du sie hingeschrieben hast. Aber nochmals danke für die Mühe... |
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