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Niko (basicuser)
Neues Mitglied
Benutzername: basicuser
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 16:19: | 
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Hallo,
Ich habe folgende Verständnisprobleme:
1.die Reihe sum(n=0 - infinity) (-1)^n / (3-2*n), dann darf ich das Leibnizkriteruim nicht verwenden, weil die Reihenglieder nicht alternierend sind, oder?
der Grenzwert der Reihe sum(n=2 - infinity) 2/(n^2 - 1), dann kann ich die (an) umschreiben als 2/(n+1)*(n-1), nur wie mach ich dann weiter um den Grenzwert zu berechnen?
Geht man bei solchen Reihen allgemein mit Partialbruchzerlegung vor?
Wär super wenn mir das jemand erklären würde.
Nico |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 16:54: |
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1.
<1/3, -1, -1, 1/3, -1/5, 1/7, -1/9, 1/11, -1/13, 1/15, -1/17, ...>
Die Reihe ist ab dem 3.Glied alternierend, die zugehörige Folge monoton, also ist das Leibnizkriterium anwendbar.
2. ist eine Teleskopsumme (nach Partialbruchzerlegung)
Sk n=2 2/(n^2 - 1) =
Sk n=2 1/(n-1) - 1/(n+1) =
(1/1 - 1/3) + (1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/5) + ... + (1/(k-1) - 1/(k+1)) =
1/1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1) ® 3/2 für k ® ¥.
(Beitrag nachträglich am 07., Dezember. 2002 von gjallar editiert)
Gruß,
Gjallar
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Niko (basicuser)
Neues Mitglied
Benutzername: basicuser
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 18:26: |
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Danke, genau sowas hab ich auch in einem Buch gefunden, nur irgendwie stell ich mich anscheinend bescheuert dran, aber wie kommst du auf die 4. Zeile? wieso steht dort dann 1/1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1) ® 3/2 für k ® ¥.? |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 09:53: |
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Hallo Niko,
bei einer Teleskopsumme heben sich alle "inneren" Summanden auf, nur Anfang und Ende bleiben übrig. Beispiel: k=8
1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 + 1/5 - 1/7 + 1/6 - 1/8 + 1/7 - 1/9 =
1/1 + 1/2 - 1/8 - 1/9 =
1/1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1)
Der formale Beweis ist sehr einfach (Induktion) und der Grenzwert 3/2 für k ® ¥ sollte offensichtlich sein.
Gruß,
Gjallar
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Niko (basicuser)
Junior Mitglied
Benutzername: basicuser
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 13:46: |
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Danke, habs verstanden! |
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