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Gamel (gamel)
Neues Mitglied
Benutzername: gamel
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 14:12: | 
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Wie zeigt man, dass Wurzel aus 3 keine rationale Zahl ist, also nicht als p/q mit p und q Element der natuerlichen Zahlen darstellbar ist???? |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 14:51: |
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Hi Gamel!
Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Sei Sqrt(3) eine rationale Zahl, so muss gelten:
Sqrt(3) = p/q mit ggT(p,q) = 1 und p,q e lN
<=>
3 = p2/q2
<=>
3q2 = p2 (*)
Aus (*) folgt, dass p durch 3 teilbar sein muss, also p = 3m und m < p
=>
3q2 = (3m)2 = 9m2
<=>
q2 = 3m2 (**)
Aus (**) folgt, dass q durch 3 teilbar sein muss, daraus folgt, dass ggT(p,q) = 3, und dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass ggT(p,q) = 1 gilt.
Somit ist Sqrt(3) nicht als rationale Zahl darstellbar.
Gruß Robert |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 308
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:30: |
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Allgemein f. jede nichtquadratzahl gilt:
sqrt(k) = m/n mit ggT(m,n) = 1
k = m^2/n^2
k * n^2 = m^2 | m muß durch k teilbar sein, also gibt es ein l sodaß m = k * l
k * n^2 = k^2 * l^2
n^2 = k * l^2 | n muß durch k teilbar sein
und das gibt einen Widerspruch weil dann müßte
gelten ggT(m, n) = k
Daher sind die Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen, welche nicht selbst natürlich sind irrational;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 309
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:42: |
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Nachtrag:
der Beweis läßt sich analog für die n-te Wurzel führen, woraus sofort folgt, daß
|Q| < |R \ Q|
Anmerkung: hier handelt es sich um algebraisch irrationale Zahlen; die transzendenten sind noch einmal mehr als
I ... irrationale Zahlen (= R \ Q)
T ... transzendent irrationale Zahlen
A ... algebraisch irrationale Zahlen
T vereinigt A ergibt I
T geschnitten A ist die Leere Menge
|T| > |A|
Beweise f. |T| > |A|
scheint zum einen logisch zum anderen gilt:
pi, e sind irrational
x = rt[n](pi) ... n-te Wurzel von pi
y = rt[n](e) ... n-te Wurzel von e
x^k, y^k
jede algebraische irrationale Zahl multipliziere ich mit x^k oder y^k mit k von 1 bis n-1
bzw.
jede rationale Zahl multipliziere ich mit x^k oder y^k mit k von 1 bis n-1
und das Ergebnis ist sicher transzendent;
und e, pi sind nicht die einzigen transzendenten Zahlen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Gamel (gamel)
Neues Mitglied
Benutzername: gamel
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 13:52: |
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fuer mich folgt aus 3p^2 = q^2 nur, dass q^2 durch 3 teilbar ist, nicht aber, dass q selbst durch 3 teilbar ist.... |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 771
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Dezember, 2002 - 14:03: |
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Hi Gamel
Deshalb auch die erste Bemerkung von Walter.
Allgemein f. jede nichtquadratzahl gilt:
Das ist hier wichtig. 3 ist keine Quadratzahl. Wie du schon sagtest folgt erstmal, dass q^2 durch 3 teilbar sein muss. Teilbar heißt, dass q^2 die Zahl 3 als Primfaktor hat. Das ist aber nicht möglich, weil 3 kein Quadrat einer ganzen Zahl ist. Damit müsste q Wurzel aus 3 als Primfaktor haben, was aber offensichtlich nicht richig ist. Daher muss q selbst schon 3 als Primfaktor haben, also durch 3 teilbar sein.
MfG
C. Schmidt |
Gamel (gamel)
Neues Mitglied
Benutzername: gamel
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 09:35: |
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oki, danke |
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