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Beitrag |
    
Green17y (green17y)
Neues Mitglied
Benutzername: green17y
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 16:32: | 
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Hallo.
Folgende Aufgabe ist zu lösen:
Zeige, dass eine Folge x(n) mit n aus N (in einem metrischen Raum) genau dann konvergiert, wenn jede Teilfolge x(n(k)) mit k aus N von x(n) konvergiert.
Ich glaube, dass das in gewisser Weise auf die Herren Bolzano-Weierstrass zurückläuft, weiß aber halt nicht genau wie! :-(
Viel Spass und herzlichen Dank
Green |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 393
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 08:47: |
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Green,
Wenn jede Teilfolge von (x(n)) konvergiert,
dann konvergiert speziell auch (x(n)) selbst.
Umgekehrt sei ( x(n)) konvergent und
limn®¥x(n) = a. D.h.: Zu jedem
e > 0 gibt es einen Index N, sodass
n > N ==> |x(n)-a| < e. Ist (n(k)) eine
streng wachsende Folge natürlicher Zahlen,
so gibt es ein K sodass k>K ==> n(k) > N.
Für diese k gilt also |x(n(k))-a| < e,
d.h. (x(n(k)) konvergiert gegen a.
mfG Orion
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Green17y (green17y)
Junior Mitglied
Benutzername: green17y
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 21:04: |
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Hi Orion,
okay, der erste Teil ist einleuchtend, schließlich ist die FOlge selbst Teilfolge. Bei der umgekehrten Richtung ist der erste Teil auch klar. Aber ich verstehe nicht eganu, wo der BEWEIS ist, dass x(n(k)) konvergiert. Meines erachtens behauptest du das nur!? Belehre mich bitte eines Besseren!
Green |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 394
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 14:08: |
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Green,
Wenn a der Grenzwert von (x(n)) ist (das sei
ja vorausgesetzt), dann heisst das in anderen
Worten : Jede e-Umgebung von a
enthält "fast alle x(n)" (d.h.: alle mit höchstens
endlich vielen Ausnahmen). Ist nun (n(k)) eine streng wachsende Indexfolge, dann enthält
jede e-Umgebung doch erst recht
"fast alle x(n(k))". Das heisst nichts anderes
als limk®¥ x(n(k)) = a.
Uebrigens sollte im Fall eines beliebigen
metrischen Raumes ||...|| statt | ... | stehen.
Bemerkung: Bolzano-Weierstrass besagt:
Jede unendliche beschränkte Teilmenge
des Rn besitzt einen Häufungspunkt.
mfG Orion
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 395
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 14:13: |
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Green,
Wenn a der Grenzwert von (x(n)) ist (das sei
ja vorausgesetzt), dann heisst das in anderen
Worten : Jede e-Umgebung von a
enthält "fast alle x(n)" (d.h.: alle mit höchstens
endlich vielen Ausnahmen). Ist nun (n(k)) eine streng wachsende Indexfolge, dann enthält
jede e-Umgebung doch erst recht
"fast alle x(n(k))". Das heisst nichts anderes
als limk®¥ x(n(k)) = a.
Uebrigens sollte im Fall eines beliebigen
metrischen Raumes ||...|| statt | ... | stehen.
Bemerkung: Bolzano-Weierstrass besagt:
Jede unendliche beschränkte Teilmenge
des Rn besitzt einen Häufungspunkt.
mfG Orion
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