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Beitrag |
    
Tilo Kruse (bbk)
Neues Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 10:17: | 
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Hallo
habe hier ein Aufgabenblatt vor mir liegen, aber leider keinen Schimmer...Hilfe wäre toll!
1. Zeigen Sie, daß für alle natürlichen Zahlen n gilt:
5^2n + 24n - 1 = 0 mod 48 (= bedeutet hier kongruent)
2. Beweisen Sie, daß für zwei Primzahlen p > 3 und q > 3 stets gilt:
p² - q² = 0 mod 24 (= bedeutet hier kongruent)
3. Zeigen Sie durch Rechnen mit Kongruenzen, daß für alle natürlichen Zahlen m die Summe
(1/5)*m^5 + (1/3)*m³ + (7/15)m
wieder eine natürliche Zahl ergibt.
4. Beweisen Sie, daß 521 * 12^k + 1 für kein k Element von N eine Primzahl ist. |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 13:27: |
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Hallo,
1. Fallunterscheidung (mod 48)
n = 2k : 5^(4k) + 24*2k - 1 = 625^k + 48k - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 (mod 48)
n = 2k+1 : 5^(4k+2) + 24*(2k+1) - 1 = 25*625^k + 48k + 24 - 1 = 25 + 0 + 24 - 1 = 0 (mod 48)
2. Jede Primzahl > 3 hat die Form 4n ± 1 und 6n ± 1. Das Quadrat einer Primzahl > 3 ist also 1 mod 4 und mod 6.
3. Gemeinsamer Nenner; zeige: 3m^5 + 5m^3 + 7m = 0 (mod 15).
Überlege: -m^3 + m = 0 (mod 3), -2m^5 + 2m = 0 (mod 5)
4. Fallunterscheidung
k = 4n : 521 * 12^(4n) + 1 = 521 * 20736^n + 1 = 28 * 1^n + 1 = 0 (mod 29)
k = 4n+1 oder 4n+3, also k = 2m+1 : 521 * 12^(2m+1) + 1 = 1 * (-1)^(2m+1) + 1 = 0 (mod 13)
k = 4n+2 : 521* 12^(4n+2) + 1 = 521 * 144^(2n+1) + 1 = 1 * (-1)^(2n+1) + 1 = 0 (mod 5)
Gruß,
Gjallar
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Tilo Kruse (bbk)
Neues Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 14:49: |
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Hallo, erstmal danke für die schnelle Hilfe, aber da ist mir noch nicht alles klar:
Zu Aufgabe 2:
Ich weiß jetzt, dass die Quadrate von Primzahlen kongruent 1 mod 4 und mod 6 sind. Aber, wie kann ich daraus schließen, dass die Differenz zweiter Primzahlquadrate kongruent 0 mod 24 sind?
Zu Aufgabe 3:
Verstehe ich gar nicht deine Vorgehensweise...das mit dem gemeinsamen Nenner ist klar, aber warum das kongruent 0 mod 15 sein muss und die weiteren Überlegungen...
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Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 15:10: |
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Zu Aufgabe 2
Sei p = 6n ± 1 und q = 6m ± 1
=>
p2 - q2 = 36(m2 - n2) + 12(m ± n) º 0 (mod 24)
=>
12(m2 - n2) + 12(m ± n) º 12([m+n][m-n] + [m ± n]) º 0 (mod 24)
=>
12(m ± n)*(m -+ n + 1) º 0 (mod 24)
Wenn m und n ungerade oder m und n gerade => 12(m ± n) = 12 * 2r => daraus folgt die Behauptung.
Wenn m gerade und n ungerade (oder umgekehrt) ist (m -+ n + 1) = 2r => daraus folgt die Behauptung!
Gruß Robert |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 16:11: |
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zu 3.
(1/5)*m^5 + (1/3)*m³ + (7/15)m = (3m^5 + 5m^3 + 7m)/15
das war noch klar. Dieser Bruch ist ganzzahlig, wenn der Zähler durch 15 teilbar ist, d.h. der Rest bei Division durch 15 ist 0 und genau das bedeutet : 3m^5 + 5m^3 + 7m = 0 (mod 15)
Der Zähler ist genau dann durch 15 teilbar, wenn er durch 3 und durch 5 teilbar ist.
Betrachte Zähler mod 3 (und beachte 5 = -1 (mod 3) , 7 = 1 (mod 3))
3m^5 + 5m^3 + 7m = 0 - m^3 + m = 0 (mod 3) , d.h. Zähler durch 3 teilbar
(beweise durch Einsetzen von m = -1,0,1 , mehr Fälle gibts nicht mod 3)
Betrachte Zähler mod 5 (und beachte 3 = -2 (mod 5) , 7 = 2 (mod 5))
3m^5 + 5m^3 + 7m = -2m^5 + 0 + 2m = 0 (mod 5) , d.h. Zähler durch 5 teilbar
(beweise durch Einsetzen von m = -2,-1,0,1,2 , mehr Fälle gibt's nicht mod 5)
Bem.: Wenn du den "kleinen Satz von Fermat" kennst, kannst du natürlich direkt daraus folgern, dass -m*(m^2-1) = 0 (mod 3) und -2m*(m^4-1) = 0 (mod 5).
Gruß,
Gjallar
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Tilo Kruse (bbk)
Neues Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 18:55: |
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Auf jeden Fall schon mal danke...ich guck sie mir gleich nochmal genauer an und werde eventuell noch Fragen haben! |
Tilo Kruse (bbk)
Neues Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 14:34: |
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Der Beweis für Aufgabe 2 ist mir leider immernoch nicht ganz klar...
Könnte man mir den nochmal erklären...warum fällt die absolute Zahl weg, zum Beispiel |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 14:43: |
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Welche absolute Zahl?
Zitiere einfach und zeige welche Zeile oder welchen Schritt du nicht verstehst!
Gruß Robert |
Tilo Kruse (bbk)
Neues Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 17:43: |
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12([m+n][m-n] + [m ± n]) kongruent 0 (mod 24)
=>
12(m ± n)*(m -+ n + 1) kongruent 0 (mod 24)
Wenn m und n ungerade oder m und n gerade => 12(m ± n) = 12 * 2r => daraus folgt die Behauptung.
Wenn m gerade und n ungerade (oder umgekehrt) ist (m -+ n + 1) = 2r => daraus folgt die Behauptung!
Das verstehe ich nicht ganz... |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 124
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 17:58: |
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Ok Also wir haben:
12(m ± n)(m -+ n + 1) º 0 (mod 24)
1.Fall
=======
m und n gerade => m = 2r und n = 2s
12(2r ± 2s)(2r -+ 2s + 1) º 0 (mod 24)
24(r ± s)(2r +- 2s + 1) º 0 (mod 24)
=> links steht ein Produkt mit 24 => lässt den Rest 0 mod 24
2.Fall
=======
m = 2r + 1 und n = 2s + 1 => beide ungerade
12(2r + 1 ± 2s + 1)*(2r + 1 -+ 2s + 1 + 1)º 0 (mod 24)
24(r + s + 1)*(2r -+ 2s + 3) º 0 (mod 24)
=> wieder ein Produkt mit Faktor 24!!!
3.Fall
=======
o.B.d.A sei m = 2r + 1 und n = 2s (einer der beiden ist gerade der andere ungerade)
12(2r + 1 ± 2s)(2r + 1 -+ 2s + 1) º 0 (mod 24)
12(2r + 1 ± 2s)*2(r -+ s + 1) º 0 (mod 24)
24(2r + 1 ± 2s)(r -+ s + 1) º 0
Auch hier wieder ein Produkt mit Faktor 24
Gruß Robert |
Tilo Kruse (bbk)
Junior Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 13:24: |
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Wieso schreibst du einmal -+ und einmal ±?
Und wieso kommst du von
12([m+n][m-n] + [m ± n]) kongruent 0 (mod 24) auf
12(m ± n)(m -+ n + 1) kongruent 0 (mod 24)?
(Beitrag nachträglich am 04., Dezember. 2002 von bbk editiert) |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 14:36: |
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Gut auch das gehen wir dann Schrittweise gemeinsam durch, sollte aber eigentlich für einen Studenten durchschaubar sein:
1.Fall
=======
12([m + n][m - n] + [m + n]) º 0 (mod 24)
12(m + n)(m - n + 1) º 0 (mod 24)
2.Fall
=======
12([m + n][m - n] + [m - n]) º 0 (mod 24)
12(m - n)(m + n + 1) º 0 (mod 24)
Jetzt gehe alle Möglichkeiten für m und n bezüglich gerade Zahl oder ungerade Zahl durch!
Gruß Robert
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Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 14:45: |
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Zu dem "aus ± wird -+"
Also wenn ich folgendes habe:
([m+n][m-n] + [m ± n]) Jetzt klammern wir mal (m ± n) aus. Dann kann ich ja nicht angeben was von [m+n][m-n] nun drinn stehe bleibt.
1.Fall:
(m + n)(m - n + 1) º ...
2.Fall
(m - n)(m + n + 1) º ...
Da das Operationszeichen zwischen m und n stets umgekehrt ist (+ und - oder - und +) kann man abkürzend schreiben:
(m ± n)(m -+ n + 1) º ...
Wobei "-+" eigentlich übereinander stehe soll (minus über dem plus)!!
Gruß Robert |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 14:48: |
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Zu dem "aus ± wird -+"
Also wenn ich folgendes habe:
([m+n][m-n] + [m ± n]) Jetzt klammern wir mal (m ± n) aus. Dann kann ich ja nicht angeben was von [m+n][m-n] nun drinn stehe bleibt.
1.Fall:
(m + n)(m - n + 1) º ...
2.Fall
(m - n)(m + n + 1) º ...
Da das Operationszeichen zwischen m und n stets umgekehrt ist (+ und - oder - und +) kann man abkürzend schreiben:
(m ± n)(m -+ n + 1) º ...
Wobei "-+" eigentlich übereinander stehe soll (minus über dem plus)!!
Gruß Robert |
Tilo Kruse (bbk)
Junior Mitglied
Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 15:15: |
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Okay, danke...und ja, ein Student müsste das normalerweise wissen, aber irgendwie läuft mein Gehirn zur Zeit auf Sparflamme...vielen Dank für deine Geduld |
