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Beitrag |
    
Devin (devin)
Neues Mitglied
Benutzername: devin
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 09:10: | 
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1. Sei 0 < a0 <= 1/4
an+1 := a0 + (an)² (an hoch 2)
Zeige Konvergenz und ermittele den Grenzwert
2. Sei nun a0 > 1/4
Ist die oben definierte rekursive Folge noch konvergent??
MFG
Devin |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 390
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 18:42: |
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Devin,
Hinweis:
Zunächst gilt offenbar
an > 0 für alle n .
Ferner ist
an+1 - an = (an+an-1)(an-an-1)
Weil nun a1 - a0 > 0, so folgt induktiv:
(an) ist streng monoton wachsend.
Ist a0=1/4, so gilt an=1/2 für alle n>=1.
Für 0 < a0 < 1/4 zeigst du leicht induktiv:
an < 1/2 für alle n >=1. In diesem Fall ist
also (an) nach oben beschränkt. Damit
ist (wegen der Vollständigkeit von |R) die
Existenz von a := limn®oo an
gesichert, und es muss gelten:
a = a0 + a2, a=<1/2,
woraus a leicht zu ermitteln ist.
Wenn a0>1/4, so überlege, ob (an)
noch beschränkt ist.
Es ist zweckmässig, sich die Rekursion anhand eines Diagramms mit den Funktionsgraphen y = a0 + x2 und y=x
zu veranschaulichen.
mfG Orion
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 536
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 23:29: |
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Ein kleiner Fehler ist Dir unterlaufen, Orion.
Ist a0=1/4, so gilt an=1/2 für alle n>=1.
Für a0=1/4 ist a1=1/4+(1/4)²=5/16 und a2=(1/4)+(5/16)²=69/256 was offensichtlich alles nicht (1/2) entspricht.Meintest Du evt. "<(1/2)" ?
(Beitrag nachträglich am 03., Dezember. 2002 von ingo editiert) |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 391
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 08:35: |
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Ingo,
Du hast Recht.
Bei ao=1/4 ist a=1/2, aber
die gesonderte Behandlung dieses Falles
ist natürlich unnötig.
mfG Orion
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