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Karla (ozon74)
Neues Mitglied
Benutzername: ozon74
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. November, 2002 - 19:35: | 
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Wer kann helfen, folgende Aufgabe:
Seien Ai=(x,y,z), i=1,2,3,4, vier nicht komplanare Punkte im R3, d.h. sie bilden ein nicht ausgeartetes Tetraeder A1A2A3A4. Sind i,j,k,l aus einer Permutation von 1,2,3,4 entstanden,d.h. gilt(i,j,k,l)=(1,2,3,4), so seien alpha i,j,k und beta i,j die Winkelgrößen der Winkel zwischen den Strecken AiAj und AiAk bzw. zwischen den Ebenen Ei und Ej, in welchen sich Aj, Ak und Al bzw. Ai,Ak und Al befinden. Sei hi die Länge der aus Ai ausgehenden Höhe des Tetraeders und Bi das andere Ende dieser Höhe. Mit V und v bezeichnet man die Volumina der Tetraeder A1A2A3A4 bzw. B1B2B3B4. Sei Si der Flächeninhalt von AjAkAl (aus der Ei Ebene).
a) Berechnen Sie cos alphai,j,k, hi und betai,j
b) Betrachten Sie die obigen Ergebnisse speziell für die folgenden Fälle:
i) A1=(a,0,0), A2=(-a/2,awurzel3/2,0), A3=(a/2,-awurzel3/2,0) und A4=(0,0,awurzel2)
ii) A1=(0,0,0), A2=(1,0,0), A3=(0,1,0)und A4=(0,0,1)
Berechnen Sie in diesen beiden Fällen auch S1,S2,S3,S4,V und v.
c) Kann es im allgemeinen Fall (also wenn A1,A2,A3 und A4 beliebige, nicht komplanare Produkte sind) eine reelle Konstante k geben, so dass V=k x v gilt?
Also ich fange immer wieder an, die Aufgabe zu lesen, aber wenn ich am Ende bin, dann weiß ich schon nicht mehr, was am Anfang stand. Ich wäre Euch für eine Hilfe oder zumindest einen Lösungsansatz dankbar. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 717
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. November, 2002 - 12:04: |
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Ist die Aufgabenstellung so
Bild in nächstem Beitrag
nun klarer?
Und daß, wenn sie allgemein für i,j,k,l
gelöst
ist, nurmehr zu "permutieren" ist, also
die speziellen Werte für i,j,k,l
einzusetzten sind.
Winkel
ergeben sich aus dem Skalarprodukt von Richtungsvektoren
a . b = |a|*|b|*cos(a,b)
wobei
cos(a,b) der cos des Winkels zwischen R.Vektoren a,b ist.
Für die Kantenwinkel i ist a = Ai-Aj, b = Ak-Ai
für
Ebenenwinkel i,j ist a = Bi-Ai, b = Bj-Aj
die Bi sind die Schnittpunkte einer Normalen auf Ei durch Ai,
für
den Richtungsvektor der Normalen auf Ei muß das Skalarprodukt
mit
2 (Richtungsvektoren der) Geraden der Ei 0 sein.
Die Winkelberechnungen erfordern ohnehin die Berechnung der
Kantenlängen | Ai-Aj |,
für
Numerische Berechnung der Flächen Si wird man also aus dem cos(a,b)
zwischen 2 Seiten auf den sin(a,b) schließen und die Fläche(a,b)
aus |a|*|b|*sin(a,b)/2 berechnen.
(die
theoretische Feststellung, daß das der Betrag des Vektorprodukts
der a,b ist, erspart einem nicht die Quadratwurzel
)
Volumina sind eben Basisfläche*ZugehörigeHöhe/3
für
den Tetraeder B1B2B3B4
sind
die Notwendigen Werte eben aus den Bi
zu
Berechnen.
Wenn solche Monsterarbeiten die Regel sind,
empfele
ich wirklich, den Erwerb eines Computeralgebrasystems
(z.B.
MathematicaFürStudenten128Euro
)
(Beitrag nachträglich am 30., November. 2002 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 718
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. November, 2002 - 12:09: |
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Bild zu obigem
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 387
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. November, 2002 - 17:34: |
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Karla,
Angesichts der Formulierung der Aufgabe kann man deine Frustration einigermassen
verstehen. Vorschlag: Löse zunächst b)(ii),
dann b)(i) , das ist eigentlich Schulstoff.
Zu c) : Betrachte ein Tetraeder mit drei
paarweise senkrechten Kanten, dann ist
offenbar v = 0.
mfG Orion
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