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Beitrag |
    
Tantor (tantor)
Mitglied
Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 10:49: | 
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Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z, sodass z^7 und 1 / z^2 konjugiert komplex sind.
Hmmm wie geht das:
z^7 = (a+bi)^7
1/z^2 = 1 / (a+bi)^2
und wie zeichnet es sich jetzt aus dass sie konjugiert komplex sein sollten, und wie gehts dann weiter |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 270
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 11:15: |
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Hi,
ich denke das ist so gemeint:
z^7 = a+bi
1/z^2 = a-bi
I: z^5 = a^2 + b^2 mit a,b element IR
II: z^7 + 1/z^2 = 2a => a
III: z^7 - 1/z^2 = 2bi => b
II und III in die Gleichung I subst. und nach z auflösen;
Viel Spaß, ergibt eine Gleichung 18ten Grades *ggg*
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 377
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 15:01: |
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Hallo,
Die Gleichung
z7 = (1/z2)* (* bedeute konjugiert)
ist wegen z z* = |z|2 aequivalent zu
z5 |z|4 = 1.
Daraus folgt zunächst |z| = 1. Die Lösungen
sind also die 5-ten Einheitswurzeln:
z = e2pik/5 , k = 0,...4 .
mfG Orion
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 234
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 21:41: |
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Orion, superb gelöst!
Allerdings ist vorausgesetzt, dass (1/z²)* = [(1/z)*]², das stimmt natürlich (muss man vielleicht auch zeigen).
Nun auch meine Lösung:
Ansatz:
Zwei konjugiert komplexe Zahlen haben das Aussehen:
a + b*i, a - b*i
bzw.
r*e^(i*phi), r*e^(-i*phi)
Die gesuchte komplexe Zahl sei z; dann ist lt. Angabe
z^7 = r*e^(i*phi) .. r und phi kennzeichnen die sich ergebende komplexe Zahl
1/z² = r*e^(-i*phi) -->
-------------------------------------------------- ------------
z^7 = r*e^(i*phi)
z² = (1/r)*e^(i*phi) .. die beiden rechten Seiten müssen nun übereinstimmen
--> r = 1/r --> r = 1
z^7 = z² daraus folgt eine Gleichung 5. Grades
z²(z^5 - 1) = 0 -> (z <> 0, wegen 1/z² in der Angabe) ->
z^5 = 1
Das ist eine Kreisteilungsgleichung 5. Grades mit dem Anfangswinkel 0, dann 4 mal den Zeiger der Länge 1 alle k*pi/5 (72°) drehen.
z1-5 = e^[i*(2pi/5)*k], k = 0, 1, 2, 3, 4
Man kann diese Lösungen auch in der trigonometrischen Form (Bogenmaß) anschreiben:
z1 = 1
z2 = cos(2pi/5) + i*sin(2pi/5)
z3 = cos(4pi/5) + i*sin(4pi/5)
z4 = cos(6pi/5) + i*sin(6pi/5)
z5 = cos(8pi/5) + i*sin(8pi/5)
oder (im Gradmaß)
z1 = 1
z2 = cos(72°) + i*sin(72°)
z3 = cos(144°) + i*sin(144°)
z4 = cos(216°) + i*sin(216°)
z5 = cos(288°) + i*sin(288°)
Gr
mYthos
Über komplexe Zahlen sh. auch
http://www.lern1.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi? 4244/200318
(Beitrag nachträglich am 20., November. 2002 von mythos2002 editiert) |
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