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Tantor (tantor)
Mitglied
Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 19:27: | 
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Hallo,
wie gehe ich bei folgender Aufgabe vor:
Lösen sie für z e C die Gleichung
z^3-3/2 sqrt(3) i = 3/2
Hinweis : i^2=-1; tan(pi/3)=sqrt(3)
also umgeformt müßte da ja dann stehen
z = 3.Wurzel aus ( 3/2 + 3/2 sqrt(3) i )
aber wie mache ich da weiter, ich glaube das geht mittels Exponentialform aber das kann ich nicht, Hilfe, weiß nämlich nicht wie ich auf den Winkel komme und wie es dann weitergeht...
Ich hab doch in 2 Tagen schon Prüfung, so ein Mist
HILFE |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 687
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 20:37: |
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der Winkel ist arcustangens(imaginärteil/realteil)
hier als arctan( sqrt(3) ) = pi/3 = 60°
für die nte Wurzel ist dan der Betrag nte Wurzel des
Radikandenbetrags, der Winkel 1/n des Radikandenwinkels.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 21:23: |
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Bedenke aber, dass es wegen
z³ = a + b*i
drei Lösungen für z gibt!
Die erste Lösung z1 ist die wie von Friedrich angegeben. Sie hat den Winkel 60°/3 = 20° bzw. pi/9 im Bogenmaß. Die anderen beiden entstehen durch Drehung von z1 um je 120° (2pi/3), haben also die Winkel 140°(7pi/9) bzw. 260° (13pi/9).
Gr
mYthos
P.S.
Ich habe mal früher allgemein über das Thema geschrieben, wenn ich's finde, werde ich es posten.
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 232
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 22:23: |
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Komplexe Zahlen:
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Darstellungsformen:
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o Komponentenform [a,b] (Vektor in der komplexen Zahlenebene)
z = a + b*i
o Polarform, Zeigerdarstellung [r, phi], trigonometrisch:
z = r*[cos(phi) + i*sin(phi)], r = |z| = Länge des Zeigers (Vektors),
phi ist der Winkel des Zeigers mit der positiven reellen Achse.
wobei die Umrechnungsformeln sind:
|z| = r = sqr(a² + b²), (sqr = Quadrarwurzel)
phi = arctan(b/a) oder auch: phi = arccos(a/r) = arcsin(b/r)
a = r*cos(phi), b = r*sin(phi)
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Durch Potenzreihendarstellung der trigonometrischen Funktionen und Einsetzen der komplexen Argumente erhält man die Euler'sche Formel:
cos(phi) + i*sin(phi) = e^(i*phi)
Aus z = r*[cos(phi)+i*sin(phi)] -> z = r*e^(i*phi)
wobei phi in Rad (Radiant) eingesetzt wird. Mit der e-Potenz - Darstellung ist das Rechnen ab Rechenoperationen 2. Ordnung besonders
einfach (sogar differenzieren und integrieren kann man problemlos), da bedarf es überhaupt keiner neuen Regeln.
Potenzen von z:
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z^n = (a + i*b)^n = r^n * e^(i*phi*n)
Die Moivre'sche Formel, eine weitere Folgerung aus der Potenzreihendarstellung ist hilfreich, wenn man die trigonometrische Form verwenden will:
[cos(phi) + i*sin(phi)]^n = cos(n*phi) + i*sin(n*phi) ... n Element aus N
z^n = r^n*[cos(n*phi) + i*sin(n*phi)]
Beim Potenzieren wird also der Winkel multipliziert.
Wurzeln aus z:
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Die Formel gilt auch für gebrochene Exponenten, insbesondere für solche der Form 1/n, damit ist
z^(1/n) = r^(1/n)*[cos(phi/n) + i*sin(phi/n)] oder
n-te_Wurzel(z) = n-te_Wurzel(r)*[cos(phi/n) + i*sin(phi/n)] =
= n-te_Wurzel(r)*e^(i*phi/n)
Beim Radizieren einer komplexen Zahl erfolgt also eine Division (Teilung) des Winkels durch n. Dabei ist zu berücksichtigen, dass dadurch der anfängliche Winkel auch auf den n-ten Teil reduziert wird.
Um alle möglichen Fälle innerhalb einer vollen Drehung in den vier Quadranten zu erhalten, muss die letzte Beziehung noch etwas erweitert werden. Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen ist:
sin(x) = sin(x +/- k*2pi) und
cos(x) = cos(x +/- k*2pi), mit k aus No [ k = 0,1,2,3,..]
Es ist dann:
z^(1/n) = r^(1/n)*[cos(phi/n + k*2pi/n) + i*sin(phi/n + k*2pi/n)]
k = 0,1,2, ... , n-1
[Bei k=n wird wieder der erste Wurzelwert erreicht, der Kreis hat sich also geschlossen]
Der volle Kreis wird also durch die n Wurzeln in n Teile geteilt. Solche Gleichungen heissen daher 'Kreisteilungsgleichungen'
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Nun nochmals zu z^3 = (3/2) + (3/2)*sqrt(3)*i
Die rechts vom = - Zeichen stehende komplexe Zahl wird in r*[cos(phi) + i*sin(phi)] umgewandelt:
r² = 9/4 + 27/4 = 9
r = 3; phi liegt im 1. Quadranten und ist wegen tan(phi) = sqrt(3): phi = pi/3
(3/2) + (3/2)*sqrt(3)*i = 3*(cos(pi/3) + i*sin(pi/3)
Der Winkel pi/3 Rad ergibt sich aus der Tatsache, dass der Zeiger im 1. Quadranten liegt (es wäre nämlich auch tan(4pi/3) = sqrt(3), weil der Tangens periodisch mit pi ist). Die Lage des Zeigers muss also immer verifiziert werden!
Nach obiger Beziehung ist:
z1-3 = 3te_Wurzel(3)*[cos((pi/3)/3 + k*2pi/3) + i*sin((pi/3)/3 + k*2pi/3)]
z1-3 = 3te_Wurzel(3)*[cos(pi/9 + k*2pi/3) + i*sin(pi/9 + k*2pi/3)]
z1-3 = 1.44225*[cos(0.349 + k*2.0944) + i*sin(0.349 + k*2.0944)]
oder
z1-3 = 1.44225*[cos(20° + k*120°) + i*sin(20° + k*120°)]
[solange die Argumente innerhalb der Winkelfunktion stehen, kann man mit den Winkelgraden rechnen (der TR ist im DEG-Mode), bei Umwandlung in die e-Potenz - Schreibweise ist im Exponenten NUR das Bogenmaß (RAD) zulässig]
Dann ist
z1-3 = 1.44225*e^[i*(0.349 + k*2.0944)]
Durch Einsetzen von k = 0,1,2 nacheinander bekommt man alle 3 Lösungen der Gleichung. Dass es 3 Lösungen sein müssen, geht schon aus
dem Grad 3 der Gleichung hervor.
z1 = 1,355 + i*0,493 = 1,44225*e^(j*0,349)
z2= -1,105 + i*0,927 = 1,44225*e^(j*2,4434)
z3= -0,251 - i*1,421 = 1,44225*e^(j*5,5378)
Ein 2. Beispiel können wir mit den bereits gewonnenen Kenntnissen jetzt leicht lösen:
z³ = -1
z³ = 1 * (cos pi + i*sin pi)
z1-3 = 1 * [cos(pi/3 + k*2pi/3) + i*sin(pi/3 + k*2pi/3)], k= 0,1,2
z1-3 = 1 * [cos(60°+k*120°) + i*sin(60°+k*120°)], k= 0,1,2
z1 = 1/2 + i*sqr(3)/2
z2 = -1 [reell, muss ja sein, denn (-1)³ = -1]
z3 = 1/2 - i*sqr(3)/2
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z1 = 0.5 + 0.866*i
z2 = -1
z3 = 0.5 - 0.866*i
Gr. mYthos
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 267
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 22:30: |
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Achtung:
z.B. bei -1 - i gilt der erhabene Winkel von 5pi/4 und nicht pi/4;
die 4te Wurzel von -1 - i lautet daher
qdrt(-1 - i) = qdrt(sqrt(2)) * (cos(5pi/16+k*pi/2) + i * sin(5pi/16+k*pi/2)) mit k = 0, 1, 2, 3
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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