    
steffen (dg0sq)
Junior Mitglied
Benutzername: dg0sq
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 11:29: | 
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brauche dringend (leider heute noch) ne Lösung oder Ansatz zu folgender Aufgabe:
sei f(x)=(ln(ln x))/x für x>=6
a) berechnen Sie lim x->unendlich von f(x)
b) beweisen Sie: für alle x element [6,unendlich) ist f(x) monoton fallend.
c) ist die Reihe SUMME n=6 bis unendlich
von (-1)^n * (ln(ln n))/n konvergent
bin für jede Hilfe dankbar. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 685
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 14:39: |
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a)
b)
x²*f'(x) = x*(1/x)/lnx - ln(lnx)
x²*lnx*f'(x) = 1 - lnx * ln(lnx)
da für x >= 6 auch lnx > 0 gilt,
gnügt
es zu Zeigen daß für x >= 6
auch 1 - lnx * ln(lnx) < 0 gilt
dann
ist dort f'(x) < 0 und somit f(x) monoton fallend,
da
lnx * ln(lnx) > 0 und steigend.
rot: 1 - lnx * ln(lnx)
grün: 0
c) da die Vorzeichen alternieren,
genügt es, daß die Summanden < 1 sind und monoton fallen;
letzteres ist mit b) bewiesen,
bleibt zu zeigen
ln(ln n)/n <= 1 für n >= 6
ln(ln n) <= n
eln n <= en
n <= en
na,
das stimmt ja schon für n=1
und
bleibt auch so
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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