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Konvergente Teilfolge??

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Nadine (neodym)
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Neues Mitglied
Benutzername: neodym

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. November, 2002 - 18:44:   Beitrag drucken

Hallo wäre schön, wenn Ihr mir schnell diese Aufgabe erklären könntet und auch zeigt wie sie gelöst wird.

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann beschränkt ist, wenn jede Teilfolge eine konvergente Teilfolge enthält.

Vielen Dank.
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Orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 367
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 10:09:   Beitrag drucken

Nadine,

Wir betrachten die folgenden Aussagen über
die reelle Zahlenfolfe (an) :

(1) (an) ist beschränkt.
(2) Jede Teilfolge (ank) von (an)
enthält eine konvergente Teilfolge.

(1) ==> (2) : Jede (ank) ist beschränkt
und enthält folglich mindestens einen Häufungspunkt a. Dann gibt es eine Teilfolge, welche gegen a konvergiert.

(2)==>(1) : Annahme: (an) ist z.B. nicht
nach oben beschränkt. Also gibt es zu
jedem k in |N ein ein Index nk, sodass
ank > k. Offenbar kann keine Teilfolge
davon konvergent sein, da sie ebenfalls
nicht beschränkt ist.

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