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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 712
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. November, 2002 - 17:00: | 
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Wie konstruiere ich am besten einen Körper mit 9 Elementen?
MfG
C. Schmidt |
heimdall (gjallar)
Neues Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 07:51: |
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Hier kannst du unter "Extended Galois Field construction" beliebige endliche Körper mit p^k Elementen (p prim) konstruieren.
Gruß,
Gjallar
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 366
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 09:29: |
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Christian,
Sei K := F3 = {0,1,-1} der Körper der
Restklassen der ganzen Zahlen mod 3.
Wegen 9 = 32 ist der gesuchte Körper
L = F9 eine quadratische Erweiterung von
K. Wir brauchen also ein in K irreduzibles
quadratisches Polynom f(X), und dann ist
L isomorph zu K[X]/f(X).
Für f(X) stehen zur Verfügung (rechne nach !)
X2+1, X2+X-1 , X2-X-1.
Bezeichnet ß eine Nullstelle von f(X),
so sieht man, dass
L = {s+tß | s,t € K}
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 716
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 13:32: |
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Vielen Dank schonmal für die Antworten.
Ich habe aber leider noch mehrere Fragen. Ich konnte zwar jetzt mit eurer Hilfe den Körper mit 9 Elementen konstruieren und Verknüpfungstafeln aufstellen, aber ehrlich gesagt habe ich nicht verstanden, warum das alles funktioniert. Warum brauche ich ein in K irreduzibles quadratisches Polynom und warum ist dann L isomorph zu K(X)/f(X) ?
MfG
C. Schmidt |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 368
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 17:02: |
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Christian,
In wenigen Worten:
L ist ein Erweiterungskörper vom Grad 2
über K, d.h. L entsteht aus K durch Adjunktion
einer Nullstelle ß eines in K irreduziblen
Polynoms 2. Grades f(X). Das funktioniert
gemäss der allgemeinen Theorie (da musst
du schon einmal in ein Buch über Algebra
hineinschauen) so, dass man den Restklassenring L:=K[X]/f(X) der Polynome
mit Koeffizienten in K modulo f(X) betrachtet.
Weil f irreduzibel ist, deshalb ist L sogar
ein Körper (analog : der Restklassenring
Z/m der ganzen Zahlen mod m ist ein Körper g.d.w. m=p eine Primzahl ist). Bezeichnet ß
die Restklasse des Polynoms X mod f(X),
so ist in f(ß) = 0 in L (das nennt man
symbolische Adjunktion ). |
heimdall (gjallar)
Neues Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 18:48: |
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Falls noch Fragen offen sind ist ergänzend zu Orions Buch-Empfehlung das Vorlesungsskript "Endliche Körper" der Uni Erlangen wirklich empfehlenswert.
Gruß,
Gjallar
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