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Beitrag |
    
Samie (samie)
Junior Mitglied
Benutzername: samie
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. November, 2002 - 23:48: | 
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Seien p und q ungerade ganze Zahlen so besitzt
x^2 + 2px + 2q = 0
keine rationale Lösung |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 363
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 08:39: |
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Samie,
Lösungsvorschlag: Angenommen x = m/n
mit m,n € Z ist eine Lösung. Dann gilt
(m+pn)2 = n2(p2-2q).
Daraus folgt, dass p2-2q das Quadrat
einer ganzen, und zwar einer ungeraden
Zahl k sein muss:
p2 - 2q = k2
<==> (p-k)(p+k) = 2q.
Beide Faktoren links sind gerade, die linke
Seite ist somit durch 4 teilbar ==> q ist
gerade : Widerspruch ! |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 257
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 09:36: |
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x^2 + 2px + 2q = 0
(x+p)^2 = -2q+p^2
(n+1)^2 - n^2 = 2n+1 => die diff. 2er aufeinanderfolgender quadratzahlen ist ungerade;
(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 4n - 1 = 8n + 8 = 8(n+1)
(2(n+k)+1)^2 - (2n+1)^2 = 4n^2 + 4k^2 + 1 + 8nk + 4n + 4k - 4n^2 - 4n - 1 = 4k^2 + 8nk + 4k
und genau das steht im Widerspruch weil die diff. 2er bel. ungerader Quadratzahlen durch 4 teilbar ist. für unsere diff. -2q aber nach Voraussetzung gilt: -2q == 2 (mod 4) und daher ist bewiesen, daß es nur irrationale Lsg. gibt.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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