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Melanie (miss_sinus)
Mitglied
Benutzername: miss_sinus
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 19:48: | 
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Bitte helft mir.
1)
a) Zeigen Sie die Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel zweier Zahlen: Für a größer/gleich 0 und b größer/gleich 0 gilt:
Wurzel (ab) kleiner/gleich (a+b)/2
b) Zeigen Sie, dass für reelle Zahlen a(nü) und b(nü) mit nü= 1, 2, ...., n die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 358
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. November, 2002 - 08:20: |
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Melanie,
Hinweise:
a) 0 =< (a-b)2. Addiere beiderseits 4ab.
b) Führe die Vektoren
a = (a1,...,an) und
b = (b1,...,bn).
ein.Ihr Skalarprodukt ist
a•b = Sn k=1akbk
Der Betrag | a | ist definiert durch
| a | = sqrt(a•a).
Dann lautet Cauchy-Schwarz:
(a•b)2 =< |a|2|b|2
mit Gleichheit genau dann, wenn a und
b linear abhängig sind.
Zum Beweis beachte, dass für reelle µ stets
|a - µ b|2 >= 0
Multipliziere dies aus und setze
µ= a•b/|b|2 |
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