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Beitrag |
    
Melanie (miss_sinus)
Mitglied
Benutzername: miss_sinus
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 18:00: | 
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Könnt Ihr mit bitte schnell helfen bei folgender Aufgabe?
1)
a) Zeigen Sie, dass Summe und Produkt einer rationalen und einer irrationalen (d.h. nicht rationalen) reellen Zahl stets irrational ist. (beim Produkt müssen noch beide Faktoren ungleich 0 sein)
b) Zeigen Sie, dass zwischen zwei reellen Zahlen stets eine rationale und eine irrationale Zahl liegt.
Ich hoffe so sehr, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Danke
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 359
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. November, 2002 - 08:30: |
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Melanie,
Hinweise:
a) Sei a rational und b irrational. Nimm an,
dass a+b bzw. a*b rational seien. Das
ergibt sofort einen Widerspruch !
b) Dies wurde erst gestern in diesem board
abgehandelt.
mfg
Orion |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 651
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. November, 2002 - 08:44: |
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HOFFENTLICH NICHT ZU NAIV
den es scheint kaum beweispflichig.
Man vergegenwärtige sich die schriftlichen Verfahren der Grundrechenarten (deren Richigkeit ja wohl nicht mehr bewiesen werden muß)
a)
die rationale Zahl q ist ein nichtperiodischer Dezimalbruch -
dann kann weder die Summe noch das Produkt mit dem
nichtendendem Dezimalbruch I der irrationalen Zahl
ein
endlicher oder periodischer Dezimalbruch sein
b)
q = r/s,
(I+q) = (I*s+r)/s
=
z/s nach a) ist der z irrational,
weil
Summe aus irrationaler und rationaler Zahl
und
Division eines nichtperiodischen nichtendenden Dezimalbruchs
durch
eine ganze Zahl kann nur einen nichtendenden nichtperiodischen
Dezimalbruch,
also eine irrationale Zahl ergeben. Für I*r/s gilt dasselbe.
zu b) siehe
hier
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 652
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. November, 2002 - 08:56: |
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der Widerspruch den Orion
meint
ist
daß
für rationale Zahlen r1,r2
gilt
r1 - r2, r1/r2 sind rational,
daher
(a+b) - a, (a*b)/a rational sein müßten wäre (a+b),(a*b) rational,
aber
das als irrational vorausgesetzte b ergeben.
(Beitrag nachträglich am 13., November. 2002 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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