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Beitrag |
    
WAWA (Wawa)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. September, 2001 - 17:03: | 
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Hallo ihr schlauen Köpfe!
Hab da ein "klitzekleines" Problem. Hier mal die Angabe zu dem Beispiel:
Einer Kugel mit dem Radius R ist ein Kegel von möglichst
a)großem Volumen V
b)großer Oberfläche A
c)großem Mantel M
eingeschrieben.
Gesucht wird die Höhe h und der Grundkreisradius r des Kegels.
_________________________________________________
Also Teil a) ist kein großes Problem, aber bei b) und c) wirds "lustig".
ich fang mal mit b) an (größter Oberfläche):
Hauptbedingung:
A=pi*r^2 + pi*r*s .... Kegel Oberfläche
(s ist dabei die Kegelseitenkante)
Nebenbedingung(en):
R^2 = r^2 + t^2 .................... Kreisgleichnungsformel
--> t = Wurzel( R^2 - r^2)
h = t + R ............................. h= Höhe des gesamten Kegels
s^2 = r^2 + h^2 ................... simpler Pythagoras
--> s^2 = r^2 + [t+R]^2
--> s^2 = r^2 + [Wurzel( R^2 - r^2) + R]^2
--> s = Wurzel(r^2 + [Wurzel( R^2 - r^2) + R]^2)
Alles zusammenmischen:
A = r^2 + r * Wurzel(r^2 + [Wurzel( R^2 - r^2) + R]^2)
(die pi's hab ich gleich eliminiert da sie für das extremum eh unnötig sind)
So, angenommen ich bin so verrückt und differenzier das ganze sogar nach r (geht ja mit etwas Anstrengung), dann bekomm ich viel Wurzel und Potenzen-"Scheibenkleister".
Okay, jetzt das ganze noch Null setzen.
Aber wie um Gottes Willen soll ich jetzt aus dem Dreck (entschuldigt meine extreme Schreibweise) das "r" ausdrücken ???
Nicht mal DERIVE bringt das noch zusammen...
Bin ich da irgendwie komplett am Holzweg? Gibts da vielleicht ganz andere Ansätze wie man das lösen kann, oder hat sich unser Mathematikprofessor das Beispiel aus den Fingern gezogen und net mal gscheit darüber nachgedacht was er uns da so zum rechnen gibt...?
Bitte helft mir, oder sagts ma wenigstens das b) und c) auf herkömliche Weise nicht berechnenbar sind.
mfg WAWA |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. September, 2001 - 20:40: |
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Ein passender Link dazu: http://www.mathropolis.de/extr01.html
Gruß
Matroid |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 07:49: |
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WAWA,
Die Wahl von r als Variable ist ungeschickt.
Mein Vorschlag: w:= halber Oeffnungswinkel.
Als Zielfunktion erhaelt man dann (wegen
s = 2R*cos(w), r = s*sin(w))
f(w) := A/(4*pi*R)
= cos(w)^2*sin(w)^2 + cos(w)^2*sin(w).
Setzt man f'(w) = 0, so verbleibt
schliesslich
4s^3 + 3s^2 - 2s - 1 = 0 , wobei s:= sin(w)
Man kann den Faktor s+1 abspalten und findet
sin(w) = (1+sqrt(17))/8
(Rechne nach!).
mfG
Hans |
WAWA (Wawa)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 12:38: |
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Hey, super !
Auf s = 2R*cos(w) wäre ich so schnell nicht drauf gekommen...
Der Rest war dann eigentlich ne Spielerei :-)
Danke für die rasche Hilfe!!
mfg WAWA |
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