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mineraloge
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 11:23: | 
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Hallo Leute!
Ich steh vor einer Ma-Prüfung und hab noch keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll. Könnt ihr mir helfen?
Zeigen Sie, am Beispiel der gegebenen Vektorfunktionen
u-> = zi-> + y²j-> - xk->
und v-> = yi-> + zj-> + x²k-> die Gültigkeit
von div(u-> kreuz v->) = v-> rot u-> - u-> rot v->.
(Die Pfeile gehören immer über den vorherigen Buchstaben)
Eine Funktion phi(x,y,z) heißt harmonisch, wenn gilt delta phi = div grad phi = 0. Untersuchen Sie, ob die Funktion phi(x,y,z) = 2xy² - x + 3z harmonisch ist.
Danke schon mal im Voraus
mineraloge |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 16:43: |
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Hallo mineraloge,
Dies ist etwas umfangreiche Schreibarbeit:
Ich nehme an, du kannst ein Kreuzprodukt ausrechnen und schreibe daher immer nur die Ergebnisse.
(Wir lassen die Pfeile weg, es ist klar, dass es sich um Vektorgrößen handelt)
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u = zi+y²j-xk
v = yi+zj+x²k
========
Wir bilden zunächst div(u x v)
(u x v) = (x²y²+xz)i + (-xy - x²z)j + (z² - y³)k
und davon die Divergenz:
(die Divergenz ist: i-Komponente nach x plus j-Komponente nach y plus k-Komponente nach z differenziert) (naja: nicht ganz mathematisch ausgedrückt)
div(u x v) = 2xy² + z - x + 2z = 2xy² - x + 3z
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Dies soll nun gleich sein: v. rot u - u. rot v
rot u = Kreuzprodukt des symbolischen Vektors Nabla mit u
rot u = 2j
desgleichen rot v = -i -2xj - k
Wir multiplizieren (Skalarprodukt) mit v bzw u:
v.rot u = 2z
u.rot v = x - z - 2xy²
==========0
Zuletzt bilden wir
v.rot u - u.rot v = 2z - x + z + 2xy² = 3z - x + 2xy²........ qed
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 09:12: |
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