Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Bogenlänge + Intergrationsreihenfolge...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Integralrechnung » Bogenlänge + Intergrationsreihenfolge + Flächenintergrale « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

wummy
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 18:30:   Beitrag drucken

Sorry, dass ich schon wieder störe, aber ich habe schon wieder mehrere Probleme:

1) Man berechne die Koordinaten des Schwerpunktes eines Halbkreisbogens in der Halbebene x >= 0, der den Mittelpunkt (0,0) und den Raduis a > 0 hat.

Wie sieht die Gleichung für einen solchen Bogen aus?

2) Man skizzieren den durch x = 2, y = x und xy = 1 begrenzten endlichen Bereich B in der Ebene und berechne

|x^2/y^2db
B

Wie sieht das Doppelintergal und der Bereich genau aus?

4) Man vertausche bei dem folgenden Doppelintegral die Integrationsreihenfolge

2 x^2
| | f(x,y) dx dy
1 x

Ansatz?

5) Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks:

x(t) = (4/3)t * sqrt(t)
y(t) = (4/7) * sqrt(8t^(7/4)) - 8
z(t) = t^2 + 7
1 <= t <= 4

mit dem Ansatz

4
| sqrt (x'^2+y'^2+z'^2) dt
1

Das Problem: Wie muss ich den Term unter der Wurzel umformen, so dass sich entweder die Wurzel ziehen, oder das Intergral berechne lässt?

6) Gegeben sei eine einfach geschlossene Kurve K in Polarkoordinaten:

r = r(phi) = (4-phi^2) * sqrt(phi-1)
1 <= phi <= 2

Ansatz? + Lösungsweg?

7) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve C:
y = (3/2) * 3root (x) - (3/10) * 3root (x^5)
1 <= x <= 8

mit dem Ansatz

8
| sqrt (1 - x'^2) dx
1

Das Problem: Wie muss ich den Term unter der Wurzel umformen, so dass sich entweder die Wurzel ziehen, oder das Intergral berechne lässt?

8) Für die Funktion y = f (x,y) = ln (xy) - yx^2 - 4y + 1 und y = f (x,y) = (x^2-4)^2 + (4+x^2)y^2 + 10 ermittle man den Definiationsbrereich und berechne Art und Länge der relativen Extrema.

Ansatz?

Ich weis dass es nicht gerade wenig ist, aber ich stecke bei vielen Aufgaben fest, da wir die Aufgaben nie richtig gemacht haben (nur die wirklich popel-einfachen).

Ich bin mir nicht sicher, ob die Ansätze stimmen, da sie von mir stammen.

Alles ist Teil meiner Vorbereitung zu meiner mündlichen Matheprüfung am 24. September.

-w
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Hans (Birdsong)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 10:51:   Beitrag drucken

wummy,

1) Der Halbkreisbogen in y>0 hat die Gleichung
y = sqrt(a^2-x^2), -a=<x=<a.Das setzt man in die
Formel
y_S = (1/s)int[-a..a]y*sqrt(1 + y'^2) dx

ein, wobei s = Bogenlaenge = pi*a. x_S = 0 ist
aus SymmetriegrŸnden klar.

2) B ist der Bereich mit den Ecken (1,1),(2, 1/2),
(2,2), begrenzt durch den Hyperbelbogen y=1/x
und die beiden Geraden. Das Integral I ist
(rechne nach):

I = int[1,2]{(int[1/x..x]y^(-2)dy)x^2}dx = 9/4.

4) Der Bereich B hat die Ecken (1,1),(2,2),(2,4)
und ist durch 2 Geraden und einen Parabelbogen
berandet. Das Integral ist

I=int[1..2]{(int[x..x^2]f(x,y)dy)}dx.

Bei Vertauschung der Integrationsreihenfolge
wird I = I_1 + I_2 , wobei

I_1 = int[1..2]{(int[sqrt(y)..y]f(x,y)dx)}dy

I_2 = int[2..4]{int[(sqrt(y)..2]f(x,y)dx)}dy.

5) FŸr den Integranden finde ich (rechne nach):

sqrt(4t+2/t^4+4t^2).

(Druck-)Fehler in der Aufgabenstellung ?

6) Aufgabenstellung unklar.

7) Es muss heissen s = int[1..8]sqrt(1+y'^2)dx.

Der Radikand ist ein vollstaendiges Quadrat, der
Integrand ist (rechne nach)

(1/2)(x^(-2/3) + x^(2/3)).

8) Aufgabenstellung unklar: was bedeutet
y = f(x,y) ? Sollte es vielleicht heissen
z = f(x,y) ? Handelt es sich um 2 verschiedene
Funktionen (Teilaufgaben)?

mfG

Hans
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Fern
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 13:20:   Beitrag drucken

Hallo wummy,
In Aufgabe 1) ist es vielleicht einfacher in Polarkoordinaten zu rechnen:
a
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Fern
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 14:40:   Beitrag drucken

Hallo wummy,
Aufgabe 8)
sind sicher 2 getrennte Teilaufgaben.
Hier die erste:

f(x,y) = ln(xy) - yx² - 4y +1
gesucht Extrema.
=========================
Das Erste (wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen) ist immer den Definitionsbereich zu bestimmen:
In unserem Fall: x und y beide positiv oder x und y beide negativ.
Die Funktion ist also genau über dem 1. Quadranten und dem 3. Quadranten definiert.
==================================
Wir bilden die partiellen Ableitungen:
fx = 1/x - 2xy
fy = 1/y - x² -4
=============
Die Simultangleichungen
1/x - 2xy = 0
1/y - x² -4 = 0
===========
ergeben die Koordinaten der "kritischen Punkte"
Wir erhalten 2 Punkte:
( 2 ; 1/8) und (-2; 1/8)
und stellen fest, dass nur einer davon in unserem Definitionsbereich liegt.
==========
Über dem Punkt (2; 1/8) hat die Funktion f(x,y) also ein Extremum.
Um die Art zu ermitteln bilden wir die zweiten Ableitungen (an der Stelle des kritischen Punktes!)
fxx = -1/x² - 2y = -1/2
fyy = -1/y² = -64
fxy = fyx = -2x = -4
===============
und wir bilden die Diskriminante d:
fxx ........ fxy
fyx ........ fyy
==============
d = 16
=======
Nun gilt folgende Regel:
Falls d > 0 und fxx > 0 dann relatives Minimum
Falls d > 0 und fxx < 0 dann relatives Maximum
Falls d < 0 dann Sattelpunkt
Falls d = 0 dann keine Aussage möglich (mit diesem Test)
=========================
Wir schließen:
Die Funktion f(x,y) hat über dem Punkt (2; 1/8) ein relatives Maximum mit dem Wert f(2;1/8) = -ln(4) = ln(1/4) = -1,386...
===============================
Die 2. Teilaufgabe kannst du mal nach demselben Scheme selbst versuchen.
Gruß, Fern
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Fern
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 15:38:   Beitrag drucken

Hallo wummy,

Aufgabe 5)
Als Integranden erhalte ich:
sqrt(4t + 2t^(-1/4) + 4t²)

Das Integral wird dadurch aber nicht besser.
Numerische Auswertung ergibt: Länge = 18,1839...
======================================
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

wummy
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 18:05:   Beitrag drucken

Erstmals vielen Dank für Eure Hilfe. Ich werde mal alles Ausrucken und mir ansehen.

Ich habe noch eine Bitte: Kanne jemand von der Aufgabe 8 den zweiten Teil mal rechnen. Ich bekomme da nämlich komplexe Zahlen heraus (und da unsere Profs. und Dozs. keine Fans von komplexen Zahlen sind (zumindest beim Studiengang Inf. :-), denke ich dass, es falsch ist).

Hans du hast recht. Der Ansatz in Aufgabe 7 muss korrekt heißen: ... sqrt (1+y'^2) ...

Ich drucke mir mal alles aus und schau's mir mal an. Ich weis, dass ich Eure Zeit sehr beanspruche aber ich hoffe, dass ich mich bei Fragen (größeren und kleineren) wieder an Euch wenden kann.

-w
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Fern
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 19:47:   Beitrag drucken

Hallo wummy,
Zur Aufgabe 8b)
Der Definitionsbereich umfasst alle x,y aus R, also alle reellen Zahlen.
Falls sich kritische Punkte mit imaginärem Anteil ergeben, so kannst du sie ignorieren, weil dort die Funktion nicht definiert ist!

Ich habe 3 kritischen Punkte ermittelt:
(0; 0)
(2; 0)
(-2; 0)
Für jeden muss man nun untersuchen ob Max. Min. oder Sattelpunkt vorliegt.
===============================
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

wummy
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 11:53:   Beitrag drucken

Kannst du mir bitte mal einen Ansatz geben für den Definitionsbereich und die Ableitungen. Ich habe wahrscheinlich falsch abgeleitet. Bekomme aber immer nur die imaginären Teile heraus.

-w
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Fern
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 13:40:   Beitrag drucken

Hallo wummy,
Genaugenommen müsste man die Funktion wie folgt definieren:
f: R² -> R, (x,y) -> (x²-4)² + (4 + x²)y² + 10
Es ist aber durchaus üblich einfach f(x,y) = ... zu schreiben, wobei man stillschweigend voraussetzt, dass wir uns im reellen Bereich bewegen!

Der Definitionsbereich ist damit R² weil wir für jedes Zahlenpaar (x,y) aus R², einen Zahlenwert aus R durch die Funktionsvorschrift ermitteln können. Man sagt auch: R² wird auf R abgebildet.
Geometrisch kann man dies nun so deuten, dass man zu jedem Punkt (x,y) der x-y-Ebene eine Koordinate z = f(x,y) aufträgt. Dies ergibt dann eine Fläche im Raum für die wir lokale Maxima, Minima und Sattelpunkte errechnen können.
======================================
Punkte (x,y) über denen solche Extremwerte auftreten können heißen : kritische Punkte. Die Fläche f(x,y) hat für solche Stellen eine horizontale Tangentialebene, d.h. alle partiellen Richtungsableitungen müssen an diesen Stellen gleich null sein.
Praktisch beschränkt man sich darauf, die Ableitungen in Richtung x und in Richtung y gleich null zu setzen (weil dann automatisch auch alle anderen Richtungsableitungen = 0 sind).
Unser Beispiel:
f(x,y) = (x²-4)² + (4 + x²)y² + 10

fx(x,y) = 4x(x²- 4) + 2xy²
fy(x,y) = 2y(4 + x²)
=====================
Wir setzen also:
4x(x² - 4) + 2xy² = 0 .............. I
2y(4 + x²) = 0
........................ II
===============
Aus II sehen wir direkt, dass sie für y = 0 erfüllt ist.
Falls y ¹ 0 ist, so muss (4 + x²) = 0 sein
oder: x² = -4 dies hat aber keine (reelle) Lösung: das heißt:
y kann nicht ¹ 0 sein, für alle Lösungen muss y = 0 gelten.

Diese Erkenntnis setzen wir in I ein:
4x(x² - 4) = 0
1. Lösung: x = 0 mit dem ersten kritischen Punkt: (0; 0)
2. (x² - 4) = 0
mit einer 2. Lösung: x = 2 und einem 2. kritischen Punkt: (2; 0)
und einer 3. Lösung: x = -2 und einem 3. kritischen Punkt: (-2; 0)
=================================
Gruß, Fern

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page