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Beitrag |
    
wummy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. September, 2001 - 19:52: | 
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Das Ergenis habe ich schon (Derive, bzw. in der Göhler Formelsammlung), brauche nur noch die Lösungsansätze. Stehe nämlich voll auf dem Schlauch:
1) |(2x+1)*arctan(sqrt(x)) dx
==> Partielle Integration?
2) |1/(sqrt(x)+x) dx
3) |dx/sqrt(x)+1 dx
4) |(sqrt(x)+1)/(x-sqrt(x)+1) dx
5) |arcsin(x) dx
6) |(x*arccos(x))/(sqrt(1-x^2)) dx
7) |x^5*sqrt(9-x^3) dx
8) |2/(1+3root(x)) dx
Legende:
| Integral
^ Potenzieren, z.B. x^2 = x*x
sqrt(x) Quadratwurzel, z.B. sqrt(4) = 2
3root(x) Kubikwurzel, z.B. 3root(8) = 2 |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 08:01: |
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wummy,
Hier ist Hilfe zur Selbsthilfe.
1) Vertreibe mittels partieller Integration
[u':= 2x+1, v := arctan(sqrt(x))] den arctan.
Als Restintegral bleibt int(sqrt(x))= (2/3)x^(3/2)
2) - 4) : Substituiere x = t^2 ==> dx = 2 t dt.
Zu integrieren sind dann nur noch rationale
AusdrŸcke in t. Bei 4) beachte, dass
t^2-t+1 = (t - 1/2)^2 + 3/4
= (3/4)*{[(2t-1)/sqrt(3)]^2 + 1}
Im Resultat tritt also arctan auf.
5) Partielle Integration mit u':=1, v= arcsin(x)
fŸhrt sofort zum Ziel.
6) Substituiere x = cos(t) ==> dx = - sin(t) dt
Es bleibt t*cos(t) zu integrieren: partielle
Integration.
7)Substituiere x = (9 - t^2)^(1/3) ==>
dx =(-2/3)t(9-t^2)^(-2/3),
damit wird der Integrand auf ein Polynom reduziert.
8)Substituiere x = (t - 1)^3, dann bleibt eine
einfache rationale Funktion in t Ÿbrig.
Have fun
mfG
Hans |
wummy
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 10:25: |
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Vielen herzlichen Dank. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 14:24: |
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wummy,
hier noch eine kleine Korrektur zu 4)
Mit der angegebenen Substitution x=t^2 wird der
Integrand
2*(t^2+t)/(t^2-t+1) = 2*{1 - (2t-1)/(t^2-t+1)}
= 2*(d/dt){t - ln |t^2-t+1|},
es tritt also kein arctan auf.
Hans |
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