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waldemar czerner (Burni)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. September, 2001 - 14:12: | 
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Hallo Leute
kann mir jemand bei dieser DGL 1. Ordnung helfen
ich soll die allgemeine Lösung yh der homogenen DGL, die partikuläre yp und die Lösung des anfangswertproblems errechnen.
y(t)=tanh(t)*y(t)+1-t*tanh(t)
mit Anfangswertproblem y(1)=42
wen möglich eine ausführliche lösung hab so meine probleme mit DGLs
schon mal im voraus DANKE für eure Mühe |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. September, 2001 - 17:55: |
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Waldemar :
Zunaechst sollte es links wohl heissen : y'(t).
Die homogene Gleichung lautet also
y'(t) = tanh(t)*y(t) <==> y'(t)/y(t) = tanh(t)
<==> (d/dt)ln |y(t)| = (d/dt) ln(cosh(t))
==> y_h(t) = C*cosh(t).
Nach der Methode des scharfen Hinsehens erkennt man sofort : y_p(t) = t . Wer mit Blindheit geschlagen ist, macht den Ansatz y_p = z(t)*cosh(t) und erhaelt nach Einsetzen in die Dgl.:
z'(t) = (1-t*tanh(t))/cosh(t)
= [cosh(t) - t*sinh(t)]/cosh^2(t)
= (d/dt){t/cosh(t)}
woraus sich z(t) = t/cosh(t) ==> y_p(t) = t
ergibt. Die allgemeine Loesung der Dgl. lautet
also
y(t) = t + C*cosh(t)
und C errechnet sich aus der Anfangsbedingung.
mfg
Hans |
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