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DGL 1.Ordnung inhomogen

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Falk Haehle (Geoexplorer)
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 15:09:   Beitrag drucken

Wie kann man die Gleichung

dv
-- = c1*v+c2*t+c3*v*t+c4
dt

lösen?
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 08. September, 2001 - 10:40:   Beitrag drucken

Hallo :

Wir schreiben die Gleichung in der Form

(dv/dt) = (c_1 + c_3*t)*v + (c_2*t + c_4).

Die homogene (verkŸrzte) Gleichung lautet

(dy/dt) = (c_1 + c_3*t)*y

und hat offenbar die allgemeine Loesung

y(t) = C*exp{c_1*t + (1/2)*c_3*t^2} = C*e^z(t).

Wir benoetigen nunmehr eine partikulaere Loesung
v_0(t) der inhomogenen Gleichung. DafŸr machen wir den Ansatz

v_0(t) = w(t)*e^z(t)

und erhalten fŸr die Funktion w(t) die Dgl.

(dw/dt) = (c_2*t + c_4)*e^{-z(t)}.

Daraus berechnet man leicht w(t) durch
Integration.
Die allgemeine Loesung der geg.inhomogenen Dgl.
lautet dann :

v(t) = y(t) + v_0(t).

mfg

Hans
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Sandy
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Veröffentlicht am Freitag, den 21. September, 2001 - 14:49:   Beitrag drucken

Wie lautet die allgemeine lösung dieser Aufgabe?

y` - (sin (x)durch cos (x)) mal y = 3 sin² (x)

DANKE!!!
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Freitag, den 21. September, 2001 - 15:36:   Beitrag drucken

Sandy,

die homogene Dgl.

y' = tan(x)*y

ist separierbar: y'/y = tan(x) <==>

(d/dx)ln |y| = (d/dx)ln(1/|cos(x)|).

Eine partikulaere Loesung der inhomogenen Dgl.
findet man mit dem Ansatz

y = z/cos(x)

das ergibt z' = 3*sin^2(x)*cos(x) = (d/dx)sin^3(x)

mfG

Hans

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