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Lineare Abhängigkeit

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Semra
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 11:56:   Beitrag drucken

Ich muss folgende Aufgabe lösen:
3 Vektoren sind gegeben:
a=(1,-2,1)
b=(2,4,1)
c=(3,2,0)
Zu zeigen: Diese 3 Vektoren bilden eine Basis im R3.
Problem:
Damit diese Vektoren eine Basis bilden können, müssen sie linear Unabhängig sein.
In der Lösung steht nun, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind. Ich habe aber gerechnet und bin der Meinung, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Kann mir da jemand helfen?
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Michael
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 12:45:   Beitrag drucken

falls die 3 Vektoren linear unabhängig sind, dann
hat nachfolgendes Gleichungssystem keine Lösung

a(1 -2 1) + b(2 4 1) = (3 2 0) Vektoren sollten senkrecht geschrieben werden

a + 2b = 3 (1)
-2a + 4b = 2 (2)
a + b = 0 (3)

aus (3): b=-a
in (1):
a + 2(-a) = 3
-a=3
a=-3

in (2):
-2a + 4(-a) = 2
-6a = 2
a = -1/3

zwei unterschiedliche Lösungen für a,
d.h. Gleichungssystem ist nicht lösbar
Vektoren sind linear unabhängig

andere Möglichkeit
Vektoren in Matrix eintragen, rechte Seite 0-Vektor
lässt sich dann die Matrix auf Dreiecksform bringen, dann sind die Vektoren linear unabhängig
fällt eine Zeile weg (z.B. wenn eine Zeile ein Vielfaches der anderen ist) dann sind sie linear abhängig

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