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Beitrag |
    
Thomas Pickel (Thomaspickel)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 15:35: | 
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Hallo,
kann jemand etwas mit dem Begriff "Gaußsche Abbildung" bzw. "Gaussian Map" anfangen? Vielleicht hat jemand einen Literatur-Tip oder kann mir kurz erklären, was das ist?
Danke, Thomas. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 13:48: |
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Hi Thomas,
Antworten auf Deine Frage nach der Gaussschen Abbildung,
d.h. der Abbildung durch parallele Tangenten
(Gaussian mapping; mapping by means of parallel tangents)
findest Du in Lehrbüchern der Differentialgeometrie.
Die folgende Beschreibung ist dem 1944 erschienen Buch
"Anschauliche Geometrie" von D.Hilbert und S.Cohn-Vossen,
New York, Dover Publications, entnommen.
Das Buch ist pikanterweise ein Photoprint der entsprechenden
Springer - Ausgabe "published and distributed in the public interest (!)
by authority of the U.S.Alien Property Costodian under license No .A-694"
A]
Zunächst werden ebene Kurven untersucht und folgende Typen von
Punkten solcher Kurven unterschieden :
(I) reguläre Punkte
(II) Wendepunkte
(III) so genannte Hellebardenspitzen
(IV) so genannte Schnabelspitzen..
Ein von Gauss angegebenes Verfahren dient nun unter anderem dazu,
zu zeigen, wie sich in diesen vier Arten von Kurvenpunkten die
Tangentenrichtung ändert, wenn man den Punkt auf der Kurve durchläuft.
Man stattet die Kurve mit einer Durchlaufrichtung aus.
In der Kurvenebene wird ein Kreis c mit Radius 1 gewählt.
Jeder Kurventangente lässt man denjenigen Halbstrahl entsprechen,
der vom Kreismittelpunkt parallel zur betrachteten Tangente ausläuft,
und zwar in der Durchlaufrichtung der Kurve.
Diese Konstruktion ordnet jedem Kurvenpunkt P einen Punkt Q
des Kreises zu, nämlich den Schnittpunkt des Halbstrahls mit der Kreisperipherie.
Bei dieser Abbildung nennt man die Punkte des Kreises das
" Tangentenbild " der Kurve ( tangent image ).
Die vier eingangs erwähnten Arten von Kurvenpunkten können anhand
des Tangentenbildes so charakterisiert werden :
(I) regulärer Punkt
Kurvenpunkt und Tangentenbild laufen im selben Sinn weiter.
(II) Wendepunkt
der Kurvenpunkt läuft weiter, während das Tangentenbild umkehrt.
(III) Hellebardenspitze
Der Kurvenpunkt kehrt um, während das Tangentenbild weiterläuft.
(IV) Schnabelspitze
Kurvenpunkt und Tangentenbild kehren um.
N.B.
Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Kurvenkrümmung und der
Tangentenabbildung, auf den wir hier nicht näher eingehen.
B]
Verallgemeinerung der Gaussschen Abbildung auf den Raum.
Zu diesem Zweck wird eine Kugel vom Radius 1 gewählt.
Zu jeder Tangente der mit einem Durchlaufsinn versehenen Raumkurve
wird der gleichgerichtete Kugelradius gezogen.
Sein Endpunkt auf der Kugeloberfläche heisst Tangentenbild des Kurvenpunktes.
Der gesamten Kurve entspricht dann eine bestimmte Kurve auf der Kugeloberfläche.
Geht man statt der Tangente von der Haupt- oder Binormalen aus ,
so erhält man zwei weitere Kurven auf der Einheitskugel;
diese drei sphärischen Bilder stehen in bezug auf ihre Dreikante
untereinander und mit der Ausgangskurve in gewissen einfachen
Beziehungen.
Wiederum lässt sich die Krümmung der Kurve mit Hilfe des
Tangentenbildes ermitteln.
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. September, 2001 - 12:25: |
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Hi Thomas,
Zur Ergänzung Deiner Studien empfehle ich Dir den auch in
Deutschland ( Verlag Vieweg ) erhältlichen Leitfaden zu
Deinem Thema:
Gerd Fischer / Jens Piontkowski
Ruled Varieties
An introduction to
Algebraic Differential Geometry
aus der Serie
Advanced Lectures in Mathematics .
Auf den Seiten 85 und 124 findest Du Erklärungen zum
Begriff " The Gauss Map" , auch für höher dimensionierte Räume
sowie zum Satz von Zak ( Zak's Theorem )
Viel Erfolg beim Studium wünscht Dir
H.R.Moser,megamath. |
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