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HansMayer
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 13:16: | 
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Hallo!
Wie kann man eigentlich beweisen, daß eine elementare Funktion keine elementare Stammfunktion besitzt?
Ein bekanntes Beispiel einer solchen Funktion ist ò sin(x)/x dx. Nur das bestimmte Integral dieser Funktion besitzt eine Potenzreihenentwicklung (die allerdings wiederum keine elementare Funktion darstellt):
Si(x) = ò0 x sin(t)/t dt = Sn=1¥ (-1)n+1 x2n-1/((2n-1)(2n-1)!) .
Hat jemand eine Idee, wie man in einem Beweis argumentieren könnte?
MfG Hans |
Dominikus Heinzeller (Rincewind)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 17:21: |
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Hallo,
Zitat aus Königsberger, Analysis I:
"Die Frage, ob eine elementare Funktion eine elementare Stammfunktion besitzt, wurde von Liouville eingehend untersucht ...
Nach einem Ergebnis von grundsätzlicher Bedeutung
von D. Richardson (1968) gibt es keinen Algorithmus, mit dessen Hilfe entschieden werden kann, ob eine elementare Funktion eine elementare Stammfunktion besitzt." |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 18:35: |
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Ich kenne das Zitat aus Königsberger Analysis I (sehr viel besseres Lehrbuch als Forster!). Hast Du eine Ahnung wie Liouville argumentiert haben könnte? Oder woher könnte man nähere Informationen bekommen? (Originalarbeiten lesen kommt eigentlich nicht in Frage, weil ich kein Französisch kann)
MfG Hans |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 17:10: |
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Hat noch irgendjemand eine Idee?
MfG Hans |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 14:13: |
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Hallo Hans,
Stichworte:
- elementare Stammfunktion
- differential Galois Theorie
- Ritt
- Ostrowski
Suche mal links unter "Archivsuche" unter Universitätsniveau nach "galois" und dann nach "elementare Stammfunktion" [hier mit den " eingeben]
Da kommen einige Beiträge zum Thema.
Du findest hier im Bord leider keine Beweise oder Andeutungen, da dafür eine sehr aufwendige Theorie notwendig ist. Schon die Definition einer "elementaren Funktion" ist nicht ganz einfach.
Schau mal in das Buch von
Joseph Fels Ritt. Integration in finite terms : Liouville's theory of elementary methods
New York : Columbia University Press, 1948
Auch Alexander Ostrowski hat einiges zum Thema gemacht. Der Höhepunkt der Untersuchungen zum Thema lag um die 40er, 50er Jahre. Es gibt noch eine nette Diplomarbeit aus der Zeit, die den Beweis für
e^(x^2) algebraisch behandelt, zuvor hat der Autor es analytisch in einer Staatsexamensarbeit behandelt. Ich habe es aber nach wenigen Seiten aufgegeben, es ist schon ziemlich schwierig.
Das Thema bisher nicht sehr stark untersucht.
Ich kenne kein modernes Buch darüber |
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