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Pascal Rolli (Prolli)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 11:48: |
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Wie lässt sich zeigen, dass: ? |
Xell
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 11:56: |
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Hi Pascal, Ich hab dir auf "Was ist größer: e^pi oder pi^e" geantwortet. Sieh dir das mal an und antworte... lg, Xell |
N.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 21:44: |
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Hallo Pascal, ich würde mal sagen du solltet dich ein kleinwenig in Bruchrechnung üben... mehr dazu Morgen... Gruß N. |
Bewunderer
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 00:33: |
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Hallo, ich würde gerne die Bruchrechenkünste bewundern... |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 15:19: |
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Hallo: Nichts gegen Bruchrechnung, aber etwas mehr braucht's schon. Die komplexe Zahl z := exp(Pi*i/7) ist Nullstelle des Polynoms f(z) = (z^7+1)/(z+1) = z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1. FŸhrt man w:= z+1/z = 2 cos(Pi/7) ein, so sieht man dass w Nullstelle des Polynoms p(w) = w^3 - w^2 - 2 w + 1 ist. Dann ist also sin(Pi/7)=(1/2)*sqrt(4-w^2) sin(2*Pi/7)=(1/2)*w*sqrt(4-w^2) sin(3*Pi/7)=(1/2)*(w^2-1)*sqrt(4-w^2). Bis auf den Faktor 2 ist dann die linke Seite des gegebenen Ausdrucks gleich Z(w)/N(w) mit Z(w):=(w^2-1)^3*w^2+w^3-(w^2-1)^2 N(w):=w^2*(w^2-1)^2*sqrt(4-w^2). Alle auftretenden Polynome habe ich nun modulo p(w) reduziert und bekomme schliesslich [Z(w)/N(w)]^2 = (343w^2+273w-189)/(49w^2+39w-27) = 7, wie behauptet.Zugegeben, nicht sehr elegant, aber immerhin... Frage: Woher kommt die Aufgabe? mfg Hans |
Pascal Rolli (Prolli)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 17:04: |
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Hallo Hans ! Zuerst einmal vielen Dank für den Lösungsweg; leider reichen meine Mathematikkentnisse (noch) nicht aus um sie ganz zu verstehen. Ich habe diese schöne Gleichung gefunden in: "Das Mathematica Buch", S. 1006 Wenn du Zeit und Lust hast, könntest du vielleicht die einzelnen Schritte noch etwas erläutern ? Gruss, Pascal |
Bewunderer
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 20:24: |
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Hallo Hans, gut gemacht, vielen Dank. Bis zur Zeile, wo die "Polynome modulo p(w) reduziert" wurden, ist mir alles verständlich. Was heißt diese Reduktion modulo eines Polynoms? Wenn ich diese Lücke gefüllt bekäme, könnte ich die Erläuterung der einzelnen Schritte übernehmen. |
Bewunderer
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 20:48: |
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Ich glaube, meine letzte Frage hat sich erledigt. Ist so etwas damit gemeint: (w^2-1)^3*w^2 + w^3 -(w^2-1)^2 = w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1 und (w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1) + (w^3 - w^2 - 2 w + 1 ) = w^8 -3*w^6 +2*w^4 + 2*w^3 -2*w und wegen w^3 - w^2 - 2 w + 1 = 0 gilt dann w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1 = w^8 -3*w^6 +2*w^4 + 2*w^3 -2*w ? und weiter dann: =w*(w^7 - 3*w^5 + 2*w^3 + 2*w^2 - 2) und wieder w^7 - 3*w^5 + 2*w^3 + 2*w^2 - 2 + 2*(w^3 - w^2 - 2 w + 1 ) = w^7 - 3*w^5 + 4*w^3 -4*w und deshalb w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1 = w*(w^7 - 3*w^5 + 4*w^3 -4*w) ? w^7 - 3*w^5 + 4*w^3 -4*w = w*(w^6 - 3*w^4 + 4*w^2 - 4) = w*(w^2-2)*(w^4-w^2+2) und wie weiter? |
N.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 20:49: |
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I'm Sorry, Da bin ich wohl einer glatten Fehleinschätzung unterlegen; Genauso wie wir alle uns schonmal in irgentetwas getäuscht haben-....Ich hätte das wissen müssen das Hans mal wieder mit seinen komplexen Einheitswurzeln ankommt... Aber das ist Menschlich! Ich hoffe mir wird verziehen.... Gruß N. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. September, 2001 - 07:35: |
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Hallo Bewunderer: Reduktion eines Polynoms g(x) mod p(x) bedeutet: schreibe g(x) = q(x)*p(x) + r(x) mit 0=<Grad(r) < Grad(p) (euklidischer Divisionsalgorithmus fŸr Polynome) Wenn p(w)=0 so bleibt g(w)=r(w). mfg Hans |
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