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Trigonometrische Formel - wie bewei...

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Pascal Rolli (Prolli)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 11:48:   Beitrag drucken

Wie lässt sich zeigen, dass:

trig

?
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Xell
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Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 11:56:   Beitrag drucken

Hi Pascal,

Ich hab dir auf "Was ist größer: e^pi oder pi^e" geantwortet.
Sieh dir das mal an und antworte...

lg, Xell
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N.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 21:44:   Beitrag drucken

Hallo Pascal,

ich würde mal sagen du solltet dich ein kleinwenig in Bruchrechnung üben...

mehr dazu Morgen...

Gruß N.
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Bewunderer
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 00:33:   Beitrag drucken

Hallo, ich würde gerne die Bruchrechenkünste bewundern...
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 15:19:   Beitrag drucken

Hallo:

Nichts gegen Bruchrechnung, aber etwas mehr
braucht's schon.

Die komplexe Zahl z := exp(Pi*i/7) ist Nullstelle
des Polynoms

f(z) = (z^7+1)/(z+1) = z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1.

FŸhrt man w:= z+1/z = 2 cos(Pi/7) ein, so sieht
man dass w Nullstelle des Polynoms

p(w) = w^3 - w^2 - 2 w + 1

ist. Dann ist also

sin(Pi/7)=(1/2)*sqrt(4-w^2)

sin(2*Pi/7)=(1/2)*w*sqrt(4-w^2)

sin(3*Pi/7)=(1/2)*(w^2-1)*sqrt(4-w^2).

Bis auf den Faktor 2 ist dann die linke Seite
des gegebenen Ausdrucks gleich Z(w)/N(w) mit

Z(w):=(w^2-1)^3*w^2+w^3-(w^2-1)^2

N(w):=w^2*(w^2-1)^2*sqrt(4-w^2).

Alle auftretenden Polynome habe ich nun modulo p(w) reduziert und bekomme schliesslich

[Z(w)/N(w)]^2 = (343w^2+273w-189)/(49w^2+39w-27)

= 7,

wie behauptet.Zugegeben, nicht sehr elegant, aber immerhin...
Frage: Woher kommt die Aufgabe?

mfg

Hans
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Pascal Rolli (Prolli)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 17:04:   Beitrag drucken

Hallo Hans !

Zuerst einmal vielen Dank für den Lösungsweg; leider reichen meine Mathematikkentnisse (noch) nicht aus um sie ganz zu verstehen.
Ich habe diese schöne Gleichung gefunden in:

"Das Mathematica Buch", S. 1006

Wenn du Zeit und Lust hast, könntest du vielleicht die einzelnen Schritte noch etwas erläutern ?

Gruss, Pascal
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Bewunderer
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 20:24:   Beitrag drucken

Hallo Hans, gut gemacht,
vielen Dank.
Bis zur Zeile, wo die "Polynome modulo p(w) reduziert" wurden, ist mir alles verständlich.
Was heißt diese Reduktion modulo eines Polynoms?

Wenn ich diese Lücke gefüllt bekäme, könnte ich die Erläuterung der einzelnen Schritte übernehmen.
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Bewunderer
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 20:48:   Beitrag drucken

Ich glaube, meine letzte Frage hat sich erledigt.
Ist so etwas damit gemeint:

(w^2-1)^3*w^2 + w^3 -(w^2-1)^2
= w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1

und (w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1) + (w^3 - w^2 - 2 w + 1 )
= w^8 -3*w^6 +2*w^4 + 2*w^3 -2*w

und wegen
w^3 - w^2 - 2 w + 1 = 0
gilt dann
w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1 = w^8 -3*w^6 +2*w^4 + 2*w^3 -2*w ?

und weiter dann:
=w*(w^7 - 3*w^5 + 2*w^3 + 2*w^2 - 2)

und wieder
w^7 - 3*w^5 + 2*w^3 + 2*w^2 - 2 + 2*(w^3 - w^2 - 2 w + 1 ) = w^7 - 3*w^5 + 4*w^3 -4*w

und deshalb
w^8 - 3*w^6 + 2*w^4 + w^3 + w^2-1
= w*(w^7 - 3*w^5 + 4*w^3 -4*w)

?


w^7 - 3*w^5 + 4*w^3 -4*w
= w*(w^6 - 3*w^4 + 4*w^2 - 4)
= w*(w^2-2)*(w^4-w^2+2)

und wie weiter?
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N.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 20:49:   Beitrag drucken

I'm Sorry,

Da bin ich wohl einer glatten Fehleinschätzung unterlegen;
Genauso wie wir alle uns schonmal in irgentetwas getäuscht haben-....Ich hätte das wissen müssen das Hans mal wieder mit seinen komplexen Einheitswurzeln ankommt...


Aber das ist Menschlich!

Ich hoffe mir wird verziehen....

Gruß N.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. September, 2001 - 07:35:   Beitrag drucken

Hallo Bewunderer:

Reduktion eines Polynoms g(x) mod p(x) bedeutet: schreibe

g(x) = q(x)*p(x) + r(x) mit 0=<Grad(r) < Grad(p)

(euklidischer Divisionsalgorithmus fŸr Polynome)

Wenn p(w)=0 so bleibt g(w)=r(w).

mfg

Hans

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