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Beitrag |
    
Schlumpf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 15:52: | 
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Hallo
Ein Sektor eines Kreises mit gegeben Radius wird zu einem kegelförmigen Trichter zusammengerollt. Für welche Zentriwinkel erhält der Trichter den größten Inhalt?
Habe GLeichung aufgstellt Mit dem Ableiten ein großes Problem. Bitte bei der Ableitung die Schritte erklären, besonders beidder Wurzel.
V(ß)=(r^3/(12*pi))*[ß^2*Wurzel(1-ß^2/4*pi^2)]
Das in den eckigen Klammern soll abgeleitet werden. Hab eProblem das ich 2 Regeln gleichzeitig anwenden soll!
Gruß Steffen |
N.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 18:10: |
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Hallo Steffen,
erlich gesagt, ich verstehe deine gesammte Rechnung nicht.
Pass mal auf, vieleicht gelingt es mir ja ein bischen Licht in die Sache zu bringen:
Bezeichnungen:
R...Radius des Kreises aus dem der Kreissektor herausgeschnitten werden soll, der das größte Fassungsvermögen enthält.
r...Radius des Kreises, der als Grundfläche des Trichters fungiert.
ß... gesuchter Zentriwinkel
h...Höhe im Trichter
Volumen des Trichters:
V=(1/3)*pi*r²*h....(I)
Nebenbedingung:
r²+h²=R²
=>r²=R²-h²
setzen wir die Nebenbedingung in (I) ein:
V=(1/3)*pi*(R²-h²)*h
V=(1/3)*pi*(R²h-h³)....(II)
(II) ist eine In h kubische Funktion de abgeleitet werden muß:
V'=(1/3)*pi*(R²-3h²)...(III)
v''=-2*pi*h...(IV)
(III) wird Null gesetzt(Extremwertbedingung)
(1/3)*pi*(R²-3h²)=0
(1/3)*pi*R²=(1/3)*pi*3h²
R²=3*h²
R²/3=h²
h=(1/3)*R*Ö3...(V)
h kann nur positiv sein!!!
Man kann mit dem Ergebnis (V) schenell die 2. Ableitung überprüfen:
V''=-(2/3)*R*Ö3<0 Maximum!!
Aus der Nebenbedingung holt man sich ebenfals schnell das Ergebnis für r(VI)
r=(1/3)R*Ö6...(VI)
Nun gilt für den Winkel:
R*ß=2*pi*r
R*ß=(2/3)*R*pi*Ö6
ß=(2/3)*pi*wurzel{6}
und Das ist der Zentriwinkel ß im Bogenmaß.
In Grad wäre ß=2933.93877° also ungefär 294°
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Ich hoffe du konntest das halbwegs nachvollziehen.
Gruß N. |
Markus
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 18:33: |
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Hallo N., wenn du in V=(1/3)*pi*(R²-h²)*h das h durch sqrt(R²-r²) ersetzt und dann alle r, die vorkommen, durch r=u/(2pi)=ß*R/(2pi) ersetzt, kannst du auf die Volumenformel von Schlumpf kommen:
V(ß)=(R^3/(12*pi))*[ß^2*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2))]
Das R heißt bei Schlumpf r.
Hallo Schlumpf,
die Produktregel kommt erst dran und darin braucht man die Kettenregel.
f(ß)= ß^2*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2))
f'(ß) = 2*ß*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2)) + ß^2 * [die Ableitung von sqrt(1-ß^2/(4*pi^2)) ]
[die Ableitung von sqrt(1-ß^2/(4*pi^2)) ] = 1/(2*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2)) * (-2*ß/(4*pi^2))
also
f'(ß) = 2*ß*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2)) + ß^2 * 1/(2*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2)) * (-2*ß/(4*pi^2))
f'(ß) = 2*ß*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2) ) -ß^3/(4pi^2 * sqrt(1-ß^2/(4*pi^2) ) )
setze
f'(ß) = 0, dann ist ß=0 oder
2*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2) ) -ß^2/(4pi^2 * sqrt(1-ß^2/(4*pi^2) ) ) = 0
2*sqrt(1-ß^2/(4*pi^2) ) = ß^2/(4pi^2 * sqrt(1-ß^2/(4*pi^2) ) ) |*(1-ß^2/(4*pi^2) )
2* (1-ß^2/(4*pi^2)) = ß^2/(4*pi^2) | *(4*pi^2)
2* ((4*pi^2) - ß^2) ) = ß^2
8*pi^2 - 2*ß^2 = ß^2
8*pi^2 = 3*ß^2
ß = sqrt(8*pi^2/3)
und damit ist das maximale Volumen des Kegels bei ß=5.1302 (293.94°):
V=0.4030665r³
Kennt sich vielleicht jemand von euch mit Wahrscheinlichkeitsrechnung aus?
-> http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/18510.html |
N.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 22:00: |
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...Trotzdem finde ich meine Rechnung besser und einfacher....
Gruß N. |
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