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Markus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 15:29: | 
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Hi!
Wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen?
gesucht sind die lokalen und globalen Extrema von f(x,y)=E^(-x^2-y^2), wobei der Betrag von x kleiner gleich 1 und der Betrag von y ebenfalls kleiner gleich 1 sein soll.
Der einzige kritische Punkt ist (0,0). Wie man leicht nachrechnen kann, ist dieser Punkt ein Maximum.
Wie kann ich jetzt aber die Extrema dieser Funktion am Rand ausrechnen, also wenn /x/ kleiner gleich 1 und /y/ kleiner gleich 1 sein soll?
Ich selbst würde lediglich die Funktionswerte in (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1), (1,1), (-1,-1), (1,-1) und (-1,1) ausrechnen. Aber selbst falls das stimmen sollte, wie kann ich beweisen, ob es sich hierbei um Maxima oder um Minima handelt?
Hab am Freitag Klausur und bin für jeden Tip echt dankbar!
Markus. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 18:24: |
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Hallo Markus,
Du hast soweit richtig gerechnet: die Funktion hat über (0; 0) ein lokales Maximum.
Globale Extrema können darüber hinaus noch an den Randpunkten bestehen.
Um nun die Funktionswerte über den Rand zu untersuchen, muss man den Rand parametrisieren: in unserem Fall in 4 Teilrändern:
Diese Parameterdarstellung der 4 Ränder ergibt:
x= 1
y= t
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x= -1
y= t
======
x= t
y= 1
======
x= t
y= -1
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Für alle jeweils: -1 £ t £ 1
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Jetzt substituieren wir (ich zeige es nur für den ersten Rand:
g(t) = e-1² - t² = e-1 -t²
Diese Funktion müssen wir nun im Intervall -1 £ t £ 1 auf Extrema untersuchen.
g'(t) = -2t*e-1-t² = 0 ergibt: t=0 also in der Mitte des Randes.
Genauso wie für die Funktion f, gilt für g: es können globale Extrema an den Randpunkten bestehen, also für t= -1 und t= -1
(aber es können keine weiteren Extrema entlang des Randes existieren!)
Wir ermitteln:
g(-1) = 1/e² = 0,135...
g(1) = 1/e² = 0,135
g(0) = 1/e = 0,367...
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Außerdem f(0,0) = 1
g(0) ist zwar ein Maximum der Randkurve, jedoch kein Extremum für f, weil f(0,0) größer ist.
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Die anderen Ränder ergeben aus Symmetriegründen gleiche Resultate.
=====
Wir fassen zusammen:
f hat bei (0,0) ein lokales Maximum mit dem Wert 1, das zugleich globales Max ist.
f hat an den Randecken (4 Stück) globale Minima mit dem Wert 1/e².
(Diese sind ebenfalls lokale Minima, jedoch ohne horizontale Tangentialebene).
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Markus
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. August, 2001 - 06:39: |
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Hallo Du!
Wollte mich nur für diese tolle ausführliche Lösung bedanken! Hast mir sehr damit geholfen!
lg, Markus. |
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