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m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 17:58: | 
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Wer kann mir bei der Lösung der Aufgabe helfen?
Vergleiche die Strukturen (P15, mal 15) und
(P16, mal 16). Begründe aus dem Vergleich ausführlich die Isomorphie oder Nicht -Isomorphie der Strukturen. |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 18:44: |
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Hallo Mathecracks! Wer weiß die Lösung ?
Vielen Dank im Voraus. |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 18:59: |
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Wer kann mir bei der Lösung behilflich sein ?
Vielen Dank: |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. August, 2001 - 10:25: |
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Hallo m,
was ist denn P15 und P16? |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 07:37: |
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Hallo!
P sind die primen Restklassengrupen (Mulitplkation) modulo 15 bzw. 16.
ich freue mich schon auf deine Antwort Gruß M. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 17:40: |
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Alles klar!
P15 = {1,2,4,7,8,11,13,14}
P16 = {1,3,5,7,9,11,13,15}
Die beiden Strukturen sind isomorph. Denn:
Es sind beides abelsche Gruppen mit acht Elementen. Folglich bleiben für P15 und P16 nur die drei Möglichkeiten
Z8, Z4 x Z2, Z2 x Z2 x Z2
zu sein.
Z8 fällt für beide aus, da weder in P15 noch in P16 ein Element der Ordnung acht existiert. (Ausprobieren!)
Z2 x Z2 x Z2 fällt ebenfalls flach, da diese Gruppe keine Element der Ordnnug 4 enthält, in P15 aber 2 und in P16 3 die Ordnung 4 hat.
Also sind beide Gruppen isomorph zu Z4 x Z2 und damit selbst untereinander isomorph.
War das verständlich? |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 21:33: |
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Hallo!
Ganz großartig, war verständlich.
Ist es richtig, dass ich alle Isomorphien erstellen kann, indem ich die Ordnungen aus P15( 2,4,7,8,13) und bei P16 ( 3,5,11,13) finde, in dem Fall ist die gleiche nämlich 4. Ergeben sich dann 4! Möglichkeiten um alle Isomorphien darzustellen?
Ist das so korrekt?
Danke M. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 21:48: |
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Verstehe nicht ganz, was du meinst. 4! kann aber wohl nicht stimmen. |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 21:15: |
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Hallo !
So, ich habe vermutet, das es bei der Ordnung 4 ,Elemente dazu siehe oben, 4 Fakultät Möglichkeiten gibt diese zu kombinieren, um alle Isomorphien zu finden.Oder nicht?
Ich hoffe es hilft dir weiter. Gruß M. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 21:42: |
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Jetzt verstehe ich, was du meinst:
Es gibt 4! Möglichkeiten, die vier Elemente mit Ordnung 4 der einen Gruppe auf die vier Elemente der Ordnung 4 der anderen Gruppe bijektiv abzubilden.
Andererseits bildet jeder Isomorphismus die vier Elemente der Ordnnug 4 der einen Gruppe auf die der anderen Gruppe bijektiv ab.
Aber: Nicht jede Bijektion der Elemente der Ordnung 4 lässt sich zu einem Isomorphismus fortsetzen!!
Z. B. gibt es keinen Isomorphismus f: P15 -> P16 mit f(2) = 3 und f(8) = 5.
Denn, wenn f(2) = 3, dann ist f(8) = f(2³) = f(2)³ = 3³ = 27 = 11, da f ein Isomorphismus.
Es gibt also WENIGER als 4! verschiedene Isomorphismen.
BTW, 4 hat in P15 nur die Ordnung 2. |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 07:38: |
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Hab ich fast verstanden.
Wieviele Isomorphien gibt es denn nun in diesem Fall , wenn es weniger als 4! verschiedene Möglichkeiten gibt.
Wieso läßt sich nicht nicht jede Bijektion der Elemente der Ordnung 4 zu einem Isomorphismus fortsetzen.?? Ich dachte gerade das wäre die Lösung sozusagen.
Danke Dir für deine bisherigen Antworten. Gruß m. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 21:13: |
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Wieso lässt sich nicht nicht jede Bijektion der Elemente der Ordnung 4 zu einem Isomorphismus fortsetzen?
Antwort: Es gibt zwar eine Bijektion f der Elemente der Ordnung 4 mit f(2) = 3 und f(8) = 5, aber keinen Isomorphismus P15 -> P16 (s. o.).
Wieviel Isomorphismen gibt es?
Da P15 und P16 beide isomorph zu Z4 x Z2 sind, ist die Anzahl der Isomorphisnmen von Z4 x Z2 nach Z4 x Z2 (d. h. die Anzahl der "Automorphismen" von Z4 x Z2) zu bestimmen (klar?).
Es ist Z4 x Z2 = {(a,b) | a = 0,1,2,3, b = 0,1}.
Z4 x Z2 wird erzeugt von (1,0) und (0,1), d. h. jedes Element aus Z4 x Z2 lässt sich mit diesen beiden Elementen darstellen.
Z. B. ist (3,1) = (1,0) + (1,0) + (1,0) + (0,1).
Ein Automorphismus f von Z4 x Z2 ist eindeutig festgelegt, wenn f(1,0) und f(0,1) festgelegt sind.
Z. B. ist f(3,1) = f(1,0) + f(1,0) + f(1,0) + f(0,1).
Die Elemente von Z4 x Z2 mit Ordnung 4 sind (1,0), (3,0), (1,1), (3,1) und die Elemente der Ordnung zwei sind (0,1), (2,1).
Durch einen Automorphismus werden die Elemente der Ordnung 4 auf Elemente der Ordnung 4 und die Elemente der Ordnung 2 auf Elemente der Ordnung 2 abgebildet.
Also bleiben für f(1,0) nur die Möglichkeiten (1,0), (3,0), (1,1), (3,1) und für f(0,1) nur (0,1), (2,1).
Also gibt es maximal 4 x 2 = 8 Automorphismen.
Bleibt zu zeigen, dass jede Möglichkeit vorkommen kann, dass es also genau acht Automorphismen gibt.
Hoffe wieder mal, dass dies verständlich war. |
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