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m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 17:52: | 
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Wie berechnet man das?
Sei (G,*) eine kommutative Gruppe, e das neutrale Element in G, U1 und U2 zwei Untergruppen.
Beweise: U1geschnitten U2 ist eine Untergruppe von G. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 10:05: |
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hi Frosch,
da ist nix zu "berechnen", sondern nur zu ueberlegen.
z.b. so:
1) U_1 ist eine untergruppe, also ist e element von U_1. ebenso fuer U_2. d.h. e ist element von U_1 geschnitten U_2.
2) sei a element von U_1 geschnitten U_2. zu zeigen ist: a^(-1) ist element von U_1 geschnitten U_2. das ist aber nach einer aehnlichen ueberlegung wie unter 1) sofort klar.
damit ist U_1 geschniten U_2 eine untermenge von G, erbt von G die Verknuepfung, enhaelt das neutrale element und zu jedem a ist auch a^(-1) in der menge enthalten. d.h. U_1 geschnitten U_2 ist eine Untergruppe. qed.
viele gruesse mrsmith.
ps: interessanter ist die frage: an welcher stelle des beweises wird die kommutativitaet von G benutzt? |
sk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 06:00: |
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Die Kommutativität vererbt sich.
cu
sk |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 08:20: |
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hi sk,
klar tut sie das, aber ist sie auch fuer den beweis erforderlich? ich glaube naemlich nicht.
das hiesse aber, "beweiskraft" zu verschenken.
gruss mrsmith |
sk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 08:53: |
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?
man verschenkt schrecklich viel, ständig |
sk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 08:57: |
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mrsmith, wer hat bei folgendem Problem den richtigen Beweis geliefert:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/18351.html?#POST64532 |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. August, 2001 - 10:11: |
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hi sk,
du hast voellig recht, dass man nicht immer den allgemeinsten moeglichen satz beweist, und damit staendig viel verschenkt.
ich weiss zwar nicht, weshalb ausgerechnet ich ueber die obige aufgabe urteilen soll, kann das aber gerne machen.
(als es aktuell war, habe ich aufgegeben, die diskussion weiter zu verfolgen, als sie begann, in meinen augen, unerquicklich zu werden.)
hier meine anmerkungen:
1) matroid hat begonnen, von allgemeinen ebenen und endlichen geometrien zu sprechen. wie aber unter solchen voraussetzungen einen "kreis" definieren will, das hat er nicht dargelegt. was ist ein kreis? (in einer projektiven ebene, koennte man z.b. eine gerade als spezialfall eines kreises mit unendlichem radius zuzulassen. in diesem falle gaebe es nichts zu beweisen.)
2) hans hat klar erkannt, dass man in der gestellten aufgabe die voraussetzungen abschwaechen kann, und damit gleichzeitig eine teilweise charakterisierung eines kreises gegeben: ein kreis enthaelt nicht kolineare punkte.
das hat einen gewissen zusammenhang mit meiner obigen frage.
3) den beweis hat matroid gegeben. die idee stammt von olaf. das war aber schon nach ca. 5 eintraegen geschehen.
4) olafs art den beweis aufzuschreiben scheint mir die eines mathematikers. olaf weiss, dass die abbildung bijektiv ist, also verwendet er entsprechende eigenschaften, ohne sie weiter zu explizieren.
5) an jeder stelle darauf hinzuweisen, dass eine bestimmte aussage z.b. aus der surjektivitaet folgt, ist zwar formal korrekt, aber etwas pedantisch. man wird selten beweise so ausfuehrlich ausgefuehrt finden. von daher war ich von dem vielen hin und her bezueglich "was darf ich verwenden. was folgt woraus" etwas entnervt (s.o.).
viele gruesse mrsmith. |
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