| Autor |
Beitrag |
    
Dirk (Dirk7100)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 14:05: | 
|
Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:
y''+2y'+2y=2(e^(-x)*cosx
y(0)=0
y'(0)=1
Vielen Dank im voraus !!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 16:17: |
|
Hallo :
Zuerst loesen wir die homogene Gleichung (rechte
Seite = 0) und finden die beiden Fundamentalloesungen
y_1 = e^(-x)*cos(x), y_2 = e^(-x)*sin(x).
Ferner benoetigen wir eine partikulaere Loesung
der inhomogenen Gleichung (rechte Seite =
2*e^(-x)*cos(x)). Am einfachsten gehen wir ueber's Komplexe: die rechte Seite ist der
Realteil der Funktion 2*exp[(-1+i)x]. Fuer die
gesuchte Loesung machen wir den Ansatz
z = w*exp[(-1+i)x] ,
wobei w(x)=u(x)+i*v(x). Setze z in die Dgl
z" + 2 z' + 2 z = 2*exp[(1+i)x]
ein, dann findest du fuer w die Dgl
w" + 2 i w' = 2
mit der offensichtlichen speziellen Loesung
w = - i x <==> u = 0 , v = -1
Die Funktion
Re{-i*x*exp[(1+i)x]} = x*sin(x)*e^(-x)
ist somit eine partikulaere Loesung der gegebenen
Dgl.Deren allgemeine Loesung lautet also
y = {x*sin(x) + C_1*cos(x) + C_2*sin(x)}*e^(-x).
Die Integrationskonstanten C_1,C_2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
Endergebnis (rechne bitte alles nach):
y = (x+1)*sin(x)*e^(-x).
mfg
Hans |
|
