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Beitrag |
    
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 08:09: | 
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Wer weiß die Lösung? R2-R2 mit (x,y)alpha=(-3x-1/3y,-1/3x+3y)Ist sie bijektiv? |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 18:53: |
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Wer kann mir bei der Lösung helfen ???? Ich warte immer noch. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 19:55: |
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Ja, ist sie.
Was muß man zeigen:
1. Injektiv, d.h. wenn
(-3x1-1/3y1,-1/3x1+3y1)
und
(-3x2-1/3y2,-1/3x2+3y2)
gleich sind, dann ist auch
(x1,y1) = (x2,y2)
2. Surjektiv, d.h. zu jedem (u,v) e R2 gibt es
(x,y) e R2 mit
(u,v) = (-3x-1/3y,-1/3x+3y)
Das bedeutet aber, daß das Gleichungssystem lösbar sein muß für alle Bildpunkte.
Das ist der Fall, wenn die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems maximalen Rang hat.
Reicht das als Tipp?
Gruß
Matroid |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 21:09: |
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hallo matroid!
Ich möchte gerne noch wissen, wie das genau denn mit den zwei Variablen geht.Mit einer Variablen ist es mir bekannt. Gruß frosch |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 21:25: |
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Nun ja, da bekommt man es hier mit 2x2-Matrizen zu tun.
Beides (Injektiv und Surjektiv) hängt daran, daß die Koeffizientenmatrix des jeweiligen Gleichungssystems maximalen Rang hat.
Die Matrix ist
Diese nenne ich A.
Für zwei Vektoren u und v aus R² mit A*u = A*v gilt u=v. Warum?
Nun A*u ist ein Vektor aus R², den nenne ich b, d.h. Au=b. Nun ist die Lösungsmenge von Av=b zu bestimmen. Weil die Lösung aber eindeutig ist (denn die Matrix A hat maximalen Rang), ist u=v.
Surjektiv: Weil für alle beR² das Gleichungssystem Ax=b lösbar ist, ist die Abbildung also surjektiv, denn jede Lösung x ist das gesuchte Urbild.
Gruß
Matroid |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 23:41: |
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Vielen Dank erstmal für die prompte Antwort. Ein paar Unklarheiten haben ich leider noch:
1. Kann es auch noch mehrere Variablen geben
Beispielsweise 3? Oder ist diese limitiert durch injektiv und surjektiv(2 Variablen).
2. Was heißt die Koeffizientenmatrix hat den maximalen Rang?
Freue mich auf deinen Rat. Gruß Frosch. |
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 23:42: |
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Vielen Dank erstmal für die prompte Antwort. Ein paar Unklarheiten habe ich leider noch:
1. Kann es auch noch mehrere Variablen geben
Beispielsweise 3? Oder ist diese limitiert durch injektiv und surjektiv(2 Variablen).
2. Was heißt die Koeffizientenmatrix hat den maximalen Rang?
Freue mich auf deinen Rat. Gruß Frosch. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. August, 2001 - 17:07: |
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Die Abbildung Deiner Aufgabe ist eine Abbildung der reellen Zahlenebene in sich. Jeder Punkt (x,y) der Ebene wird auf einen Bildpunkt in der Ebene abgebildet.
Die Abbildung ist surjektiv, weil jeder Punkt aus R² - aufgefaßt als Bildpunkt - ein Urbild hat, das von dieser Abbildung auf ihn abgebildet wird.
Natürlich kann man auch Abbildungen von R³ -> R³ betrachten. Dann hätte ein Punkt 3 Koordinaten und die Vorschrift der Abbildung hätte 3 "Variablen".
Im Fall R² ist wird ein Punkt durch 2 Koordinaten beschrieben.
Injektiv und/oder surjektiv hat mit der Anzahl der Koordinatenachsen natürlich nichts zu tun.
Nicht jede Abbildung von R² -> R² ist bijektiv. Beispiel: (x,y) -> (x,0)
Diese ist zwar surjetiv, aber z.B. hat der Punkt (1,1) kein Urbild in R² unter dieser Abbildung.
Daß es hier funktioniert, liegt an der eindeutigen Lösbarkeit der sich ergebenenden Gleichungssystememe. Ich habe dazu den Begriff "Rang einer Matrix" benutzt. Das ist ein einfaches Kriterium, das man in Lineare Algebra I lernt.
Man ermittelt den Rang der Matrix und kann daraufhin sagen, ob das (inhomogene) Gleichungssystem:
- genau eine
- viele
- keine
Lösung hat.
Einzelheten dazu mußt Du Dir bei Bedarf in der Vorlesung holen.
Vielleicht liegt Dein Problem auch hier:
Eine Abbildung von R² in R² bildet Elemente von R² auf Elemente von R² ab.
Das ist ganz analog zu einer Abbildung von R in R, nur die Elemente sind Vektoren mit 2 reellen Zahlen.
Machen wir ein Beispiel R->R
Sei f (x) = 2x
Diese Abbildung ist injektiv, weil wenn f(x)=f(y) ist auch x=y, denn aus dem "Gleichungssystem" 2x=2y folgt das sofort.
Die Abbildung ist auch surjektiv, denn zu einem gegebenen zeR gibt es ein Urbild. Das bestimmt man indem man die Gleichung f(x)=z löst:
f(x)=z <=> 2x=z <=> x=z/2
Alles ganz, ganz einfach.
Was ist nun für eine Abbildung R²->R² anders?
Na, die Gleichungssysteme werden etwas komplizierter. Man muß nun ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten lösen oder auflösen.
Das habe ich oben gemacht.
Wenn Du das mit dem Rang nicht kennen kannst, dann mußt Du die Gleichungssysteme hinschreiben und nach Schulmanier lösen (Einsetzen,Addieren,Multiplizieren usw.)
Gruß
Matroid |
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