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sandra
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 11:20: | 
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Hallo, wer kann mir helfen?
Zeigen Sie:
M={(x³+y³, sin(x*y))| x,y Element (0,1), x ungleich y}
ist eine offene Teilmenge des R².
Anschaulich kann ich mir das schon vorstellen, hab aber keine Ahnung wie ich es formal korrekt beweisen kann. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 13:02: |
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hallo sandra,
(0,1) ist ein offenes intervall.
(0,1)x(0,1) ist also eine offene teilmenge des R^2. aus dieser wird per x=y eine abgeschlossene (sowohl in R^2 als auch in dieser teilmenge selbst) teilmenge herausgenommen.
das ergebnis ist wieder eine offene teilmenge.
x^3 + y^3 ist ein polynom, also stetig.
x*y ebenfalls.
sin() ist stetig.
damit ich eine offene abbildung habe (eine, die offene teilmengen in offene abbildet), genuegt es nun, festzustellen, dass die matrix der partiellen ableitungen der komponentenfunktionen (jakobimatrix) auf der betrachteten teilmenge des R^2 nichtsingulaer ist.
in diesem fall habe ich naemlich durch den satz von den impliziten funktionen (den du ja auch gerade lernst) lokal eine stetige umkehrabbildung, die, wenn in der gesamten teilmenge die jakobimatrix nichtsingulaer ist, sogar eine globale umkehrabbildung ist.
mithin sind die beiden teilmengen (definitionsbereich und wertebereich) homöomorph, also M offen.
viele gruesse mrsmith
ps. ich hoffe, dass das so korrekt ist. ich bin naemlich eigentlich kein topologe. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 13:18: |
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nachtrag:
durch die herausnahme der geraden x=y zerfaellt der definitionsbereich in zwei zusammenhangskomponenten. du musst dann die rechnung fuer jede dieser zusammenhangskomponenten einzeln durchfuehren, was aber nichts an der aussage aendert, denn vereinigungen von offenen mengen sind immer noch offene mengen.
es sieht so aus, als haette ein freundlicher aufgabensteller gerade die gerade herausgenommen, wo die jakobimatrix singulaer wird.
nochmal viele gruesse mrsmith |
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