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Joachim
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 10:50: | 
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Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Für die Fibonnaci-Folge xn = xn-1 + xn-2 mit x0 = 1 und x1 = 1 ist xn auch explizit darstellbar in der Form xn = a^n-b^n/a-b, wenn a und b die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 = x + 1 bedeuten.
(Anleitung: Die Folgen (an) und (bn) haben dasselbe Bildungsgesetz wie die Fibonnaci-Folge.)
Tut mir leid, aber ich kann mit der Anleitung nichts anfangen.
In der Anleitung steht nicht als Hinweis, daß die gesamte explizite Darstellung von xn dasselbe Bilungsgesetz hat wie die Fibonnaci-Folge, sondern daß (an) bzw (bn) diesem Bildungsgesetz gehorchen.
Das Ergebnis sollte mit möglichst elementaren Mitteln abgeleitet werden.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Joachim. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 18:36: |
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Hallo:
Multipliziert man die Gleichung
a^2 = a + 1
mit a^(n-2), so folgt
a^n = a^(n-1) + a^(n-2),
und dasselbe gilt fŸr die Potenzen b^n .
Also erfŸllen die Folgen (a^n), (b^n) die
Fibonacci-Rekursion. Dasselbe gilt daher auch
fŸr jede Linearkombination
x_n = c_1*a^n + c_2*b*n
Wir bestimmen jetzt c_1,c_2 so, dass die
Anfangswerte x_0 = 0 , x_1 = 1 stimmen.
Das ergibt dann die gesuchte explizite Formel.
Streng genommen ist diese natŸrlich erst fŸr
n=0 und n=1 gesichert. Um die AllgemeingŸltigkeit
nachzuweisen, muss man noch einen Induktionsbeweis
hinterherschiessen !
mfg
Hans |
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