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Beitrag |
    
Thomas Pickel (Thomaspickel)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 16:02: | 
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Hallo,
für folgende Formel suche ich einen Beweis:
Sei A eine Matrix, B die Matrix, die durch Streichen der letzten Zeile und Spalte von A entsteht, a_nn der Eintrag ganz rechts unten von A, s der Spaltenvektor mit den Elementen der letzten Spalte bis auf a_nn und z der Zeilenvektor mit den Elementen der letzten Zeile bis auf a_nn.
Dann gilt:
det A = a_nn * det B - z * adj(B) * s
wobei adj(B) die zu B adjungierte Matrix ist. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 04:11: |
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Hallo :
Multipliziert man A "kaestchenweise" mit der Matrix
[adj(B), - adj(B)*s]
[0,1]
so ergibt sich die Kaestchenmatrix
[det(B)*E,0]
[z*adj(B), a_nn - z*adj(B)*s],
denn B*adj(B) = det(B)*E,
wobei E:= (n-1)-reihige Einheitsmatrix, daher
det(adj(B) = (det(B))^(n-2).
So erhalte ich die Formel
det(A) = det(B)*{a_nn - z*adj(B)*s}
mfg
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 07:59: |
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Hallo :
Sorry, ich muss noch einen Rechenfehler korrigieren: Wir multiplizieren A von rechts mit
der Kaestchenmatrix
[adj(B) , -adj(B)*s]
[0^t , det(B)] (0^t ist Nullzeile)
und erhalten die Kaestchenmatrix
[det(B)*E , 0] (0 ist Nullspalte)
[z*adj(B) , a_nn*det(B) - z*adj(B)*s]
Jetzt bilden wir beiderseits die Determinante und
wenden den Produktsatz an. Nach wegkŸrzen des
Faktors (det(B))^(n-1) erhalten wir
det(A) = a_nn*det(B) - z*adj(B)*s
mfg
Hans |
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