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Berechne limes...

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Astrid Lindner (Wonne)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 09:13:   Beitrag drucken

Ich grüße alle...

Es sei x >= 0, ß >= 0 und g(ß)= (1 + x/ß)^ß

Man zeige g(ß) <= e^x gilt.
Man berechne lim ß-->oo g(ß) und lim ß-->0 g(ß).

Setze mich jetzt auch mal daran ...vielen Dank für Antworten....Wonne
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Astrid Lindner (Wonne)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 15:17:   Beitrag drucken

Ich weiß nicht wie ich hier beginnen soll...würde mich also über Antworten ...Lösungen etc. freuen....Wonne
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pecahuna
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 16:09:   Beitrag drucken

bekannt ist, dass d(x^a)/dx = a*x^(a-1) fuer beliebige reelle a > 0.

bekannt ist ferner, dass d(e^x)/dx = e^x, d.h.
die ableitung der e-funktion ist die e-funktion selbst.

fuer x=0 stimmen beide funktionen ueberein.
funktionswert jeweils eins.

jetzt musst du nur noch zeigen, dass die ableitung der funktion stets kleiner ist als ihr funktionswert an der stelle x:
nach einigen einfachen rechnungen:

d(g(ß)(x))/dx = 1/(1 + x/ß)*g(ß)(x) (**)
da 1/(1 + x/ß) < 1 nach voraussetzung ist der erste teil schon fertig.

bemerke: bei g(ß)(x) ist ß lediglich ein parameter, x dagegen die unabhaengige variable.

fuer ß -->oo erkennt man an (**), dass g(ß) gegen die e-funktion strebt.

so so ....
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Astrid Lindner (Wonne)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 18:17:   Beitrag drucken

Hallo pecahuna..

Danke für deine Antwort...mein Problem ist momentan jedoch das meine einfachen Berechnungen nicht zum Ziel führen...könntest du mir das ein wenig aufschlüsseln...danke schön Wonne
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pecahuna
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 10:08:   Beitrag drucken

hallo wonne,

tja, das ist wohl eine der grundwahrheiten in der mathematik, dass hinter ausdruecken wie "wie man sofort sieht", "nach einfacher rechnung" etc immer die schwierigsten sachen versteckt werden.

aber,das habe ich nicht getan:
gß(x)= (1 + x/ß)^ß. ableiten nach der kettenregel (steht in irgendwelchen buechern drin)

also
d(gß(x))/dx = d(gß(x))/d(1+x/ß)*d(1+x/ß)/dx
= (nach meiner ersten bemerkung gestern) ß*(1+x/ß)^(ß-1)*d(1+x/ß)/dx
= (nachableiten) ß*(1+x/ß)^(ß-1)* 1/ß
= (vereinfachen (1+x/ß)^(ß-1)
dieser ausdruck sieht wieder genau so aus, wie der urspruengliche, ausser dass der exponent eins niedriger ist. also muss man versuchen den exponenten wieder hoeher zu kriegen. das erreicht man durch multiplikation mit (1+x/ß),was ja dasselbe ist wie (1+x/ß)^1. allerdings kannst du nicht einfach mit diesem ausdruck multiplizieren,
sondern du musst "erweitern", d.h. multiplikation mit 1/(1+x/ß)*(1+x/ß) = 1.

ciao pecahuna

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