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Extrema bestimmen

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mineraloge
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Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 10:46:   Beitrag drucken

Kann mir jemand bei der Lösung der Funktion z=f(x,y)=x²-x²y-y²+3y-1/4 helfen? Es sollen Art und Lage der Extrema, sowie die Tangentialebene im Punkt P(0,1/2,1) bestimmt werden.
Danke
mineraloge
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 13:25:   Beitrag drucken

Hallo mineraloge,
Zur Tangentialebene:
Wir bilden die Funktion f(x,y,z) = x² - x²y - y² + 3y -(1/4) - z = 0
Achtung: dieses f ist NICHT das f in der Angabe!
Wir bilden irgendeinen Vektor v durch P=(x0; y0;z0):
v = (x-0; y-½; z-1)
dann ist:
Ñf(x0,y0,z0) . v = 0 die Gleichung der Tangentialebene.
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Unser Beispiel:
Die Parziellen Ableitungen sind:
fx = 2x-2xy.............im Punkte P: fx= 0
fy = -x²-2y+3..........im Punkte P: fy = 2
fz = -1.....................im Punkte P: fz = -1

Ñf(x0, y0,z0) = (0; 2; -1)
Nun bilden wir das Innenprodukt:
0(x-0) +2(y-½) -1(z-1) = 0

2y -1 -z +1 = 0
oder
z = 2y die gesuchte Tangentialebene.
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