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Dgl´s lösen.

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Andrea (Alphaandrea)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 14:46:   Beitrag drucken

Hallo,

kann mir wohl bitte jemand bei der Lösung der folgenden Gleichungen helfen?

a) y´+(2/x-2x/(1-x²))y=0
b) y´´´-3y´+2y=0

Gruß, Andrea.
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Lupo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 16:26:   Beitrag drucken

Hallo Andrea,
a) die Variablen trennen:

dy       2      2x
--- + ( - - -------  ) y = 0
dx       x     (1-x²)

=>
dy         2x        2
--- = ( ------- - -- ) y
dx        (1-x²)     x

mit dx/y multiplizieren und integrieren:

ò (1/y) dy = ò( 2x/(1-x²) - 2/x) dx

Stammfunktion von 1/y ist ln|y|,
Stammfunktion von x/(1-x²) ist mit Substitution z=x² => dz=2xdx
=> ò 2x/(1-x²) dx = ò( 1/(1-z) dz) = -ln|1-z| = -ln|1-x²|
Stammfunktion von 2/x ist 2ln|x|=ln(x²)
jeweils zzgl. Integrationskonstante

also ist y = exp( -ln|1-x²| - ln(x²) + ç) = (1/(1-x²) +1/x²)*c


b) y´´´-3y´+2y=0

char. Gleichung: k³-3k²+2=0, man sieht Lösung k=1, faktorisieren (notfalls Polynomdiv.)
ergibt k³-3k²+2 = (k+2)(k-1)²

Ansatz für DGl, wenn Nullstelle bei k=n und doppelte Nullstelle bei k=m vorliegt:
c1*e^(nx)+c2*e^(mx)+c3*x*e^(mx)

Also Lösung y=c1*e^(-2x)+c2*e^(x)+c3*x*e^(x)
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Alex
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Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 12:23:   Beitrag drucken

Hallo Ihr Matheasse! Hier ist Alex. Ich schreibe am Donnerstag eine wichtige Prüfung und hab auch von Differentialgleichungen nochnicht viel Ahnung. Könnt ihr mir bei der Lösung folgender Aufgabe helfen? Ihr seit meine letzte Hoffnung, BITTE.

Eine Funftion y = f(x) genüge der Differentialgleichung 4y" + p²y = p²* x² + 8
a.) Von welchem Typ ist diese Diff.gln.
b.) Bestimmen sie die Allgemeine Lösungsfunktion y = f(x)
c.) Ermitteln sie die Lösung des Anfangswertbroblems, das aus obiger Diff.Gln und den Anfangswertvorgaben f (0) = 2 und f´ (0) =p entsteht!
d.) Ermitteln sie die Lösung des Randwertproblems, das aus Obiger Diff.Gln. und den beiden Randwertvorgaben f (0) = f (3) = 6 entsteht, und schätzen sie den Wertebereich im Intervall {0,3} ab.
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Lupo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 13:36:   Beitrag drucken

a) weiß ich nicht.
b) Lösung der hom. Gl. 4y" + p²y =0 durch Ansatz y=e^(kx) => 4k² + p² = 0 => k² = -p²/4 =>

k=ip/2 V k=-ip/2

Lös. der hom. Gl 4y" + p²y =0 ist y=c1*e^(ipx/2) + c2*e^(-ipx/2)

Ansatz zur speziellen Lösung Ys der inhomogenen Dgl. ist vom Typ der Störfunktion p²* x² + 8 , d.h. ein Polynom 2. Grades:


Ys = ax²+bx+c
Ys'(x)=2ax +b
Ys"(x)=2a

Einsetzen in DGl:
4*2a + p²*ax²+p²*bx+p²*c = p²x² + 8


Koeffizientenvergleich:
p²*ax² = p²x² => a=1
p²*bx = 0 => b=0
4*2a + p²*c = 8 => mit a=1: 8 +p²*c = 8
=> p²*c=0 => c=0

=> Ys(x) = x²

allgemeine Lösung ist:

f(x) = y(x)+Ys = c1*e^(ipx/2) + c2*e^(-ipx/2) + x²

c) f(0) = 2 <=> c1*1 + c2*1 + 0² = 2 (I)
f'(0) = p
f'(x)= (ip/2)*c1*1 + (-ip/2)*c2*1 + 2*0 = p
<=> (ip/2)*(c1-c2)=p

forme (I) durch Mult. mit (ip/2) um:

(ip/2)*(c1+c2) =2

addiere (ip/2)*(c1-c2)=p

=> (ip/2)*2c1 = 2+p
=> c1 = (2+p)/(ip)

=> c2 = ...
Rest kannst du selber? muss weg...
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sonny
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 16:56:   Beitrag drucken

Hallo Alex,
es handelt sich um eine lineare inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Vorfaktoren.

sonny

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