| Autor |
Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 11:04: | 
|
Man bestimme die beiden letzten Ziffern der Zahl
3^2001 + 7^(7^7)
! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 12:17: |
|
Hallo Pascal
Bei der Zahl 32001 lauten die beiden letzten Ziffern 03; bei
7(77) sind dies 43
Für 32001+7(77) also 03+43=46
Erklärung:
31 => 03
3² => 09
3³ => 27
...
320=>01
321=>03
Die Endziffern wiederholen sich für 320*n wobei n eine natürliche Zahl ist.
Wegen 2001=20*100+1 ist die Endziffer also 03.
Für 7(77)=7823543 gilt entsprechend:
71=>07
7²=>49
7³=>43
74=>01
75=>07
76=>49
usw.
Hier wiederholen sich die Endziffern für 74n und wegen
7(77)=7823543=74*205885+3 sind die Endziffern 43; also wie bei 73.
mfg Lerny |
xxL
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 18:18: |
|
Bem.: die Endziffern von 3^n sind nicht nur dieselben wie von 3^(n+20), auch wie die von 3^(n+5).
Analog zu 7^n und 7^(n+5).
Die Endziffer der fünften Potenz einer Zahl ist immer gleich der Endziffer der Zahl selber. |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 19:36: |
|
Hi,
Die Zahl z besitze die Reihendarstellung
z = a_n*b^n + a_n-1*b^(n-1) + ... + a_0 = Sn k=0 a_k*b^k,
wobei b die Basis des Zahlensystems darstelle, somit b_k und a_k E IN
und 0 <= a_k < b_k-1. Wir vereinbaren folgende Abkürzung:
c := z-a_0
Wenn wir nun zwei natürliche Zahlen z_1 und z_2 miteinander multiplizieren,
sieht man, dass die letzte Ziffer nur von den jeweiligen letzten
Ziffern von z_1 und z_2 abhängen.
z_3 = z_1 * z_2 = (c_1+a_01) * (c_2+a_02) = c_1*c_2+c_1*a_02+a_01*c_2+a_01*a_02
Für alle Summanden außer a_01*a_02 gilt, dass b ein Teiler dieser ist.
Also hängt die letzte Stelle von z_3 nur von den letzten Stellen von
z_1 und z_2 ab.
lg
P.S.: Wer Lust hat, kann jetzt zeigen, dass sich die letzte
Stelle nach x Schritten wiederholt und (durch meinen Beweis folgend),
somit auch nach x+pk Schritten, wobei p die Periode darstelle. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juli, 2001 - 04:25: |
|
Hallo :
Rechne modulo 100:
3^(20*q+r) = 3^r (mod 100) , 2001 = 1 (mod 20)
==> 3^2001 = 3 (mod 100);
7^(4q+r)=7^r(mod 100) , 7^7 = 3 (mod 4)
==> 7^(7^7) = 43 (mod 100)
==> 3^2001 + 7^(7^7) = 46 (mod 100)
Gruss Hans |
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juli, 2001 - 11:18: |
|
Vielen Dank für die Antworten.
Eine Frage noch an xxL: Du schreibst:
Die Endziffer der fünften Potenz einer Zahl ist immer gleich der Endziffer der Zahl selber.
Wie lässt sich dies beweisen ? |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juli, 2001 - 13:13: |
|
Hi Pascal,
Anm.: Dies ist der zweite (und letzte) Teil des Beweises, also
vorher bitte meinen letzten Artikel lesen.
---------------------------------------------
Weiterhin bestimmen wir jetzt p für das Dezimalsystem, also b=10.
Für 0,1 gilt der Satz, da 0^x = 0 und 1^x = 1 für alle x E IN.
== bedeute kongruent und (10) sei (modulo 10)
2 (10) == 2
2² (10)== 4
2³ (10)== 8
2^4 (10)== 6
2^5 (10)== 2 : 2^5 (10) = 2 (10) => 2^(x+4k) (10) == 2^x (10) ; x,k E IN
3 (10)== 3
3² (10)== 9
3³ (10)== 7
3^4 (10)== 1
3^5 (10)== 3 : 3^5 (10) = 3 (10) => 3^(x+4k) (10) == 3^x (10)
4 (10) == 4
4² (10) == 6
4³ (10) == 4 : 4³ (10) == 4 (m10) => 4^(x+2k) (10) == 4^x (10)
=> 4^(x+4l) (10) == 4^x (10)
5 (10) == 5
5² (10) == 5 : 5² (10) == 5 (10) => 5^x (10) == 5 => 5^(x+4k) (10) == 5^x (10)
6 (10) == 6
6² (10) == 6 : 6² (10) == 6 (10) => 6^x (10) == 6 => 6^(x+4k) (10) == 6^x (10)
7 (10) == 7
7² (10) == 9
7³ (10) == 3
7^4 (10) == 1
7^5 (10) == 7 : 7^5 (10) == 7 (10) => 7^(x+4k) (10) == 7^x (10)
8 (10) == 8
8² (10) == 4
8³ (10) == 2
8^4 (10) == 6
8^5 (10) == 8 : 8^5 (10) == 8 (10) => 8^(x+4k) (10) == 8^x (10)
9 (10) == 9
9² (10) == 1
9³ (10) == 9 : 9³ (10) == 9 (10) => 9^(x+2k) (10) == 9^x (10)
=> 9^(x+4l) (10) == 9^x (10)
Es ergibt sich p = 4 oder als Teiler von 4. Somit gilt für alle
Dezimalzahlen 0, 1, 2,..., 9 bzw. Zahlen z mit diesen Endungen:
z^(x+4k) (mod 10) == z^x (mod 10)
Also auch speziell für x = 1 und k = 1
z^5 (mod 10) == z^1 (mod 10)
qed und lg, Xell |
xxL
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juli, 2001 - 16:46: |
|
Hallo, Lerny, da hab ich vielleicht einen Müll geschrieben, entschuldige das bitte.
Du hast vollkommen recht gehabt und ich hätte nichts als Bemerkung hinzufügen müssen.
Ich habe übersehen, dass nach den letzten beiden Endziffern gefragt war, habe "Endziffer" gedacht und trotzdem "Endziffern" geschrieben. Wie blöd von mir.
Bei der 7 ist das anders als bei der 3, da stimmen wirklich bei jeder fünften Potenz die letzten beiden Endziffern überein, während es bei der 3 nur bei jeder zwanzigsten Potenz der Fall ist.
Tut am besten so, als ob es da nicht steht.
Inzwischen ist ja schon alles geklärt.
Pascal, auf deine Frage habe ich im Archiv noch dies hier gefunden:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4373/6473.html#POST26223 |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 13:19: |
|
@Pascal Rolli: Ist es das, was du wolltest?
lg |
|
