| Autor |
Beitrag |
    
stela
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juli, 2001 - 15:10: | 
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Bitte Hilfe!
1
a) Beweisen Sie <D³,°> ist eine Gruppe
b) Ist <D³,°> kommutativ? Begründung!
c) Zeigen Sie: Die Gruppen <D³,°> und <S3,°> sind isomorph
2
Es war Za = {x|x = a * z ^ z Element Z} für beliebiges, aber festes a aus Z.
Zeigen Sie: < Za,+> ist eine Untergruppe von < Z, +> |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juli, 2001 - 21:18: |
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Schreib doch mal, was D3 ist.. S3 kenne ich.
Für Aufgabe 2:
Zu zeigen sind die Gruppenaxiome, nämlich
Abgeschlossenheit: Seien x und y aus Za, Dann es z1 und z2 aus Z mit x=a*z1 und y=a*z2. Es ist x+y = a*(z1+z2), also auch x+yeZa.
assoziativ: klar, weil Za Teilmenge von Z und (Z,+) ist assoziativ bzgl. +.
Neutrales Element: Offensichtlich ist 0 = a*0 in Za.
Inverses Element: Wenn xeZa dann es ein z mit x=a*z. Ebenso ist aber auch y=a*(-z) ein Element von Za, denn mit z ist ja auch -z aus Z.
Es gilt x + y = a*z + a*(-z) = a* (z-z) = a*0 = 0.
Das Inverse Element ex. also zu jedem Element aus Za in Za.
Bemerkung: Zum Glück ist aeZ, darum kann die Assoziativität hier ausgenutzt und angewendet werden: a*z + a*(-z) = a* (z-z)
Gruß
Matroid |
xxL
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juli, 2001 - 23:35: |
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Hi Matroid, ich glaube, es ist die Diedergruppe D3 gemeint.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/D3.html |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 21:00: |
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Es ist eine isomorphe Abbildung zwischen D3 und S3 nachzuweisen.
Die Elemente von S3 kann man aufschreiben:
s1 = (1)(2)(3)
s2 = (12)(3)
s3 = (1)(23)
s4 = (2)(13)
s5 = (123)
s6 = (132)
Das muß man so lesen (für s2): s2 bildet 1 auf 2, 2 auf 1 und 3 auf 3 ab.
Also: ein Element in einer Klammer wird durch sx auf das folgende Element in der Klammer abgebildet. Das letzte Element einer Klammer wird auf des erste der Klammer abgebildet.
Ich gebe noch ein Beispiel für die Verknüpfung der Elemente von S3:
Es ist (123) = (12)(3)o(1)(23).
Denn die 1 wird zuerst auf sich selbst abgebildet (von rechts nach links die Permutationen anwenden!) und dann auf die 2. Die 2 wird zuerst auf die 3 und die 3 dann auf sich selbst abgebildet. Die 3 wird auf die 2 und die 2 auf die 1 abgebildet. Macht zusammen (123)
S3 ist nicht abelsch.
Beispiel: (1)(23)o(12)(3) = (312)
und andersherum war schon oben angeben.
Zu zeigen ist nun, daß D3 eine Gruppe ist.
Das ist aber mit den Erklärungen des Links von xxL nicht mehr schwer. Insbesondere existiert das neutrale Element und zu zu jedem der 6 Elemente von D3 kann ein Inversers angegeben werden.
z.B. ist a das Inverse zu aoa usw. und b das Inverse zu b.
Für den Nachweis der Isomorphie ist ein bijektiver Homomorphismus f von D3 in S3 anzugeben.
Dieser muß das Neutrale Element auf sich abbilden:
f : e -> (1)(2)(3)
In S3 sind die Elemente (12)(3), (1)(23), (2)(13) von der Ordnung 2, d.h. (12)(3)o(12)(3) = (1)(2)(3) = e aus S3.
In D3 sind die Elemente b, ab und ba von der Ordung 2, also
f : b -> (12)(3)
f : ab -> (1)(23)
f : ba -> (2)(13)
und schließlich noch die Abbildungsvorschrift für die Elemente der Ordnung 3:
f : a -> (123)
f : aa -> (132)
Man rechnet nun nach, daß f(d1od2)=f(d1)of(d2)
[d1 und d2 Elemente aus D3].
Surjektiv und injektiv ist bei der Definition der Abbildung offensichtlich.
Da nun S3 und D3 isomorph sind, ist D3 auch nicht abelsch (siehe Gegenbeispiel in S3).
Gruß
Matroid |
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