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Das vier Mäuse Problem

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Simönchen
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Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 19:57:   Beitrag drucken

Eins vorweg: Das ist kein Scherz, die Aufgabe habe ich wirklich bekommen!
Lest es einfach durch und erklärt mir was gefragt ist. Ich versteh's nicht.

Vier Mäuse werden in den vier Ecken eines Quadrats plaziert, so daß jede Maus die im Uhrzeigersinn folgende Ecke des Quadrats im Blick hat. Da ein hinterlistiger Forscher jeder Maus ein Stück Käse auf den Rücken gebunden hat, läuft jede Maus zur Zeit t=0 mit (dem Betrag nach) gleicher und konstanter Geschwindigkeit auf die Maus zu, die sie im Blick hat.

Bestimmen Sie:
a) die von den Mäusen durchlaufenen Kurven
b) die Länge des von den Mäusen bis zum Moment des Zusammentreffens zurückgelegten Weges.
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clemens
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Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 21:27:   Beitrag drucken

Hi, Simone!

Wenn ich Koordinaten im Quadrat einführe, sodaß die rechte obere Ecke (1,1) und (0,0) der Mittelpunkt ist, kann ich sagen, daß der Geschwindigkeitsvektor X'(t) einer Maus zum Zeitpunkt t genau in die Richtung des momentanen Standorts X(t) um 90° zeigen muß.

Eine Drehung um 90° erreiche ich durch Matrixmultiplikation mit J = {{0,-1},{1,0}}. Da die Länge des Geschwindigkeitsvektor sich nur in der Parameterisierung der Kurven niederschlägt und die Fragen (a)(b) von der Parametrisierung unabhängig sind, kann ich auf die Länge des Geschwindigkeitsvektors pfeifen und mir folgendes Differentialgleichungssystem aufstellen:

X'(t) = J X(t) - X(t) = (J-I) X(t)

(wobei I die Einheitsmatrix sein soll)
sagen wir J-I = A = {{-1,-1},{1,-1}}

Wenn ich nur die Maus betrachte die rechts oben starte, bekomme ich die Anfangsbedingung

X(0) = {1,1}

Lösung des Anfangswertproblems ist e^(tA).{1,1}, wobei ich e^(tA) mittels Jordan-Zerlegung berechne. Wenn du dieses System nicht kennst, müßtest du in einem Buch nachsehen. Auf jeden Fall kommt bei mir raus:

X[t] = {e^-t cos[t] + sin[t] (-cosh[t]+sinh[t])), e^-t cos[t] + e^-t sin[t]}

Das ist zugleich eine super Parametrisierung der Kurve, die die Maus durchläuft. Nun noch schnell die Länge zwischen t=0 und t=oo berechnet (die Mäuse treffen sich nämlich erst bei unendlich im Nullpunkt, was nicht bedeutet, daß sie sich nie treffen (liegt an der speziellen Parametrisierung). Zur Längenberechnung habe ich allerdings keine Lust mehr gehabt.

Clemens
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sonny
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Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 06:07:   Beitrag drucken

Hallo Clemens,
ist die Gleichung nicht etwas komplizierter?

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sonny
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sonny
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Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 06:10:   Beitrag drucken

Hallo Clemens,
ist die Gleichung nicht etwas komplizierter?

h


sonny
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franz
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Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 15:30:   Beitrag drucken

Die vier bilden immer ein Quadrat, das rotiert. Jede Seite wird von einer Maus begrenzt, die senkrecht dazu, und einer, die in Richtung dieser Seite wandert. Jede Seite verkürzt sich also mit v, so daß das Quadrat sich nach t = a / v (a ursprüngliche Seitenlänge, v Geschwindigkeit) auf den (Treff-) Punkt zusammengezogen hat.

Jeder Spiralbogen ist also a lang.

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