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Astrid Lindner (Wonne)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 09:50: | 
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hallo zusammen...
Man berechne das Volumen des Körpers (Ellipsoid)
X^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 kleiner gleich 1
Danke für die Hilfe...Wonne |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juli, 2001 - 12:59: |
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Hi Astrid,
Jeder senkrecht zur x -Achse geführte ebene Schnitt
des angegebenen dreiachsigen Ellipsoids ist eine Ellipse
mit der Gleichung
y ^ 2 / b ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = ( a ^ 2 - u ^ 2 ) / a^2.
x = u ist die Gleichung der Schnittebene; der Parameter u
läuft von u = - a bis u = a.
Um die Halbachsen ao und bo dieser Ellipse zu ermitteln,
setzen wir der Reihe nach in der letzten Gleichung z = 0 und
y = 0
Wir erhalten diese Halbachsen als Funktionen von u, nämlich:
ao = ao(u) = b / a * wurzel ( a ^ 2 - u ^ 2 )
bo = bo(u) = c / a * wurzel ( a ^ 2 - u ^ 2 )
Der Flächeninhalt A = A(u) dieser Ellipse ist
A = Pi* ao*bo = Pi * b * c / a ^ 2 * ( a ^ 2 - x ^ 2 )
Wir Fassen A(u) * dx als Volumenelement dV für
das Volumen V des Ellipsoids auf
und integrieren dV von x = - a bis x = a.
Ergebnis:
V = Pi * b*c / a ^ 2 * int [(a^2 - x ^2 ) * dx in den genannten Grenzen
Mithin
V = Pi * b * c / a^2 * [ 2/3 * a^3 + 2/3 * a^3 ] =
4 / 3 * Pi * a * b * c
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Astrid Lindner (Wonne)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 18:21: |
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Hallo megamath.
Ich hab eine vielleicht etwas blöde Frage aber woher hast du die Gleichung y^2/b^2 + z^2/c^2 usw.genommen....danke schön Astrid |
Doc Hansen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 10:28: |
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Liebe Astrid,
Du hast aber viele Fragen! (was nicht schlimm ist.)
Was mich jedoch stutzig macht, ist, dass man anhand Deiner Nachfragen nicht den Eindruck gewinnt, dass Du mit den verschiedenen (guten) Lösungsvorschlägen zu Deinen verschiedenen Fragen viel anfangen kannst. Und das ist vielleicht doch schlimm. Denn die meisten im Board werden mir recht geben, wenn ich sage, dass Deine Fragen nicht besonders schwierig sind. Ich wuerde sie in die "Mathematik für Naturwissenschaftler I" Vorlesung einordnen.
Deshalb mein gutgemeinter Rat:
Denk mal drüber nach, wohin Du in Deinem Leben kommen willst. Und ob es nicht Wege gibt, die für Dich einfacher gangbar sind.
mfg Doc Hansen |
Lupo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 13:06: |
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Hi Astrid, der Megamath wird dir wohl noch nicht helfen können, da er wahrscheinlich noch in Ferien ist.
Ich denk mal über deine Frage nach. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juli, 2001 - 10:47: |
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Hi Astrid,
Zurück aus den Ferien
( Teil I , der zweite Teil folgt sogleich! )
beantworte ich noch schnell Deine Frage.
(Dank auch an Lupo dafür, dass er meine
Ferienabwesenheit notifiziert hat ) .
Wir setzen in der Gleichung des Ellipsoides
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1
x = u und realisieren damit den senkrechten Schnitt
zur x-Achse.
Durch Umstellung entsteht:
y ^ 2 / b ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = 1 - u ^ 2 / a ^ 2 , also:
y ^ 2 / b ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = ( a ^ 2 - u ^ 2 ) / a ^ 2.
Neufassung des letzten Abschnitts
Der Flächeninhalt A = A(u) dieser Ellipse ist
A = Pi* ao* bo = Pi * b * c / a ^ 2 * ( a ^ 2 - u ^ 2 )
Wir fassen A(u) * du als Volumenelement dV für
das Volumen V des Ellipsoides auf
und integrieren dV von u = - a bis u = a.
Ergebnis: ( mit u als Integrationsvariable )
V = Pi * b* c / a ^ 2 * int [(a ^ 2 - u ^ 2 ) * du ] in den
genannten Grenzen u = - a bis u = a
Das unbestimmte Integral ist:
a ^ 2 * u - 1/3 * u ^ 3 .
Mithin
V = Pi * b * c / a ^ 2 * [ 2/3 * a^3 + 2/3 * a^3 ] =
4 / 3 * Pi * a * b * c
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Anmerkung
Du kannst als untere Grenze auch u = 0 wählen, obere Grenze
nach wie vor u = a .
Damit bekommst Du das halbe Volumen
½* V = 2/3 * Pi * a * b * c.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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