| Autor |
Beitrag |
    
Tom
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 10:23: | 
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Hallo!
Wenn ich die Funktion f(x,y)=1/2 (cos x + sin y)^2 + cos x * sin y auf dem Quadrat Q=[0,2Pi] x [0,2Pi] habe, wie kann ich hier von f das Maximum und Minimum bestimmen?
Grüsse, Tom |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 13:19: |
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fx(x,y)=0 und fy(x,y)=0 ® xi,yj
wenn fx,x(xi,yj)>0 und fy,y(xi,yj)>0 ® Minimum
wenn fx,x(xi,yj)<0 und fy,y(xi,yj)<0 ® Minimum
wenn (fx,x(xi,yj)<0 und fy,y(xi,yj)>0) oder (fx,x(xi,yj)>0 und fy,y(xi,yj)<0) ® kein Extremum bezüglich der xy-Ebene |
CF
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 13:40: |
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Hallo,
unter dem link:
http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-bin/MSSAgent/~pscrooke/MSS/LG/plotsurfacelive.def
findest Du einen 3D-Plotter, der die die Funktion darstellt. Zur Aufgabe:
Extremwerte von f(x,y) = 0.5(cosx+siny)²+cosx*siny = 0.5(cos²x+sin²y+2cosx*siny)+cosx*siny mit D = [0,2*pi] gesucht
Notwendige Bedingungen:
df/dx (partiell) = -sinx*cosx-sinx*siny-sinx*siny = -sinx(cosx+2siny) = 0 (1)
df/dy (partiell) = +siny*cosy+cosx*cosy+cosx*cosy = cosy(siny+2cosx) = 0 (2)
Aus (1) ist sofort ersichtlich, dass df/fx=0, wenn sinx=0 => x=n*pi, n=0,1,2
Aus (2): df/dy = 0, wenn cosy=0 => y=pi*n/2, n=1,2,3
lokale Extrema für {x,y}={n1*pi,0.5*n2*pi}, n1=0,1,2; n2=1,2,3
Maximum: n1=0, n2=pi/2; f(0,pi/2) = 3
Minimum: n1=0, n2=3pi/2; f(0,3pi/2) = -1
die Hinreichende Bedingung für relative Extrema schenke ich mir, müsste aber noch gemacht werden.
Untersuchung auf andere Extrema:
aus (1) => df/dx=0, wenn Klammer(cosx+2siny) = 0 (3)
und
aus (2) => df/dy=0, wenn Klammer(siny+2cosx) = 0 (4)
Gln. (3) und (4) nach y bzw x auflösen:
-3cosx=0 bzw. cosx=0 => x=pi*n/2, n=1,2,3
-3siny=0 bzw. siny=0 => y=n*pi, n=0,1,2
Diese Werte in f(x,y) eingesetzt ergeben immer f = 0, also keinen Extremwert [wahrscheilich haut die hinreichende Bedingung nicht hin ;-)]
Habe ich geholfen?
CF
P.S.: weitere geniale Mathe-Werkzeuge u.A. zum Integrieren und Diferenzieren, Funktionenplotter u.v.m. unter
http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/toolkit.html
:-) |
CF
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 13:40: |
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Hallo,
unter dem link:
http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-bin/MSSAgent/~pscrooke/MSS/LG/plotsurfacelive.def
findest Du einen 3D-Plotter, der die die Funktion darstellt. Zur Aufgabe:
Extremwerte von f(x,y) = 0.5(cosx+siny)²+cosx*siny = 0.5(cos²x+sin²y+2cosx*siny)+cosx*siny mit D = [0,2*pi] gesucht
Notwendige Bedingungen:
df/dx (partiell) = -sinx*cosx-sinx*siny-sinx*siny = -sinx(cosx+2siny) = 0 (1)
df/dy (partiell) = +siny*cosy+cosx*cosy+cosx*cosy = cosy(siny+2cosx) = 0 (2)
Aus (1) ist sofort ersichtlich, dass df/fx=0, wenn sinx=0 => x=n*pi, n=0,1,2
Aus (2): df/dy = 0, wenn cosy=0 => y=pi*n/2, n=1,2,3
lokale Extrema für {x,y}={n1*pi,0.5*n2*pi}, n1=0,1,2; n2=1,2,3
Maximum: n1=0, n2=pi/2; f(0,pi/2) = 3
Minimum: n1=0, n2=3pi/2; f(0,3pi/2) = -1
die Hinreichende Bedingung für relative Extrema schenke ich mir, müsste aber noch gemacht werden.
Untersuchung auf andere Extrema:
aus (1) => df/dx=0, wenn Klammer(cosx+2siny) = 0 (3)
und
aus (2) => df/dy=0, wenn Klammer(siny+2cosx) = 0 (4)
Gln. (3) und (4) nach y bzw x auflösen:
-3cosx=0 bzw. cosx=0 => x=pi*n/2, n=1,2,3
-3siny=0 bzw. siny=0 => y=n*pi, n=0,1,2
Diese Werte in f(x,y) eingesetzt ergeben immer f = 0, also keinen Extremwert [wahrscheilich haut die hinreichende Bedingung nicht hin ;-)]
Habe ich geholfen?
CF
P.S.: weitere geniale Mathe-Werkzeuge u.A. zum Integrieren und Differenzieren, Funktionenplotter u.v.m. unter
http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/toolkit.html
:-) |
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